高等数学第16章第2节二元函数的极限

§2 二元函数的极限

一 二元函数的极限

2

定义1 设f为定义在D?R二元函数，P0为的D一个聚点，A是一个确定的实数。若对任给正数?，总存在某正数?，使得当P?Uo?P0;???D时，都 有 f?P??A??, 则称f在上当P?P0时，以A 为极限，记作 ．D．．

limf?P??A. ?1?

P?PP?D0在对于P?D不致产生误解时，也可简单地写作

limf?P??A. ?1'?

P?P当P,P0分别用坐标?x,y?,?x0,y0?表示时，?1'?也常写作

例1 依定义验证证 因为

22 x?xy?y?7

22 ?(x?4)?xy?2?(y?1)

(x,y)?(x0,y0)limf?x,y??A. ?1\?

(x,y)?(2,1)lim(x2?xy?y2)?7.

?(x?2)(x?2)?(x?2)y?2(y?1)?(y?1)(y?1) ?x?2x?y?2?y?1y?3. 先限制在点(2,1)的??1方邻域 内讨论，于是有

y?3?y?1?4?y?1?4?5, x?y?2?(x?2)?(y?1)?5 ?x?2?y?1?5?7. 所以

22 x?xy?y?7?7x?2?5y?1

??x,y?x?2?1,y?1?1?

?7(x?2?y?1). 设?为任给的正数，取??min(1,)，则当x?2??,y?1??,(x,y)?(2,1)时， 就有 1422 x?xy?y?7?7?2???. □

例2 设

??x2?y2?xy,(x,y)?(0,0), f(x,y)??x2?y2

?0,(x,y)?(0,0),?limf(x,y)?0．证明

(x,y)?(0,0)证 对函数的自变量作极坐标变换x?rcos?,y?rlsin?.。这时(x,y)?(0,0)等价于对任何?都有r?0.。由于

x2?y2 f(x,y)?0?xy2 2x?y1212 ?rsin4??r,

44因此，对任何??0,， 只须取??2都有f(x,y)?0???即

(x,y)?(0,0)?,，当0?r?x2?y2??时，不管?取什么值

limf(x,y)?0。 □

下述定理及推论相当 于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归结原则(而且证

明方法也相似)．我们可通过它们进一步认识定义1中“P?P0”所包含的意义．

定理16.5 limf(P)?A的充要条件是：对于D的任一子集E，只要P0是E的聚点，

P?P0P?D就有

P?P0P?Elimf(P)?A

P?P0P?E1P?P0P?D推论1 设E1?D，P0是E1的聚点，若limf(P)不存在，则limf(P)也不存在． 推论2 设E1,E2?D，P0是它们的聚点，若存在极限 limf(P)?A1,limf(P)?A2，

P?P0P?E1P?P0P?E2但A1?A2，则limf(P)不存在．

P?P0P?D推论3 极限limf(P)存在充要条件是：对于D中任一满足条件Pn?P0且

P?P0P?DlimPn?P0的点列?Pn?，它所对应的函数列?f?Pn??都收敛．

n??下面两个例子是它们的应用． 例3 讨论f(x,y)?xy当(x,y)?(0,0)时是否存在极限． 22x?y解 当动点(x,y)沿着直线y?mx而趋于定点(0,0)时，由于此时

mf(x,y)?f(x,mx)?，因而有

1?m2m limf(x,y)?limf(x,mx)?. 2(x,y)?(0,0)x?01?my?mx这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时，对应的极限值不同，因此所讨论的极限 不存在． □

例4 二元函数

?1,当0?y?x2,? f(x,y)?????x???时，

?0,其余部分.?如图16－7所示，当(x,y)沿任何直线趋于原点时，相应的f(x,y)都趋于零，但这并不表明此函数在(x,y)?(0,0)时极

限存在．因为

当点(x,y)沿抛物线y?kx(0?k?1)趋于点 O时，f(x,y)将趋于1。所以

(x,y)?(0,0)2limf(x,y).

不存在。 □

下面我们再给出当P(x,y)?P0(x0,y0)时，f(x,y)趋于??（非正常极限）的定义．

定义2 设D为二元函数的定义域，P0(x0,y0)是D的一个聚点。若对任给正数M，总存在点P0的一个?领域，使得当P(x,y)?Uo(P0;?)?D时，都有f(p)?M，则称f在当P?P0时，存在非正常极限??，记作 ．D．上．

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)???

或 limf(P)???.

P?P0仿此可类似的定义：

limf(P)??? 与 limf(P)??.

P?P0P?P01.证明

2x2?3y2limf(x,y)???

例5 设f(x,y)?(x,y)?(0,0)证 因为2x2?3y2?4(x2?y2)，对任给正数M，取 ??就有

12M, 1.

2M122, 由此推得 2x?3y?M1即 ?M. 222x?3y这就证得结果（该函数在原点附近的图象参见图16－8）. □

二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限四则运算法相仿，特别把f(x,y)看作点函数f?P?时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再一一列出．

二 累次极限

limf(x,y)中，两在上一段所研究的极限

(x,y)?(x0,y0)x2?y2?个自变量x,y同时以任何方式趋于x0,y0。这种极限也称为重极限。在这一段里，我们要考察x与y依一定的先后顺序相继趋于x0与y0时f的极限，这种极限称为累次极限．

定义3 设Ex,Ey?R，x0是Ex的聚点，y0是Ey的聚点，二元函数f在集合

D?Ex?Ey①上有定义。若对每一个y?Ey,y?y0，存在极限limf(x,y),由于此极限

x?x0x?Ex一般与y有关，因此记作

??y??limf(x,y),

x?x0x?Ex而且进一步存在极限

L?lim??y?,

y?y0y?Ey则称此极限为二元函数f先对x??x0?后对y??y0?的累次极限，并记作