习题三
?θ(θ+1)xθ?1(1?x)
3.1 设 ξ 的概率密度为 ?(x)=?
0?
0 ，其中，θ>0 是 未知参数，(X1,X2,L,Xn) 是 ξ 的样本，求θ 的矩法估计。 解 Eξ= ∫ +∞ ?∞ x?(x)dx=∫xθ(θ+1)xθ?1(1?x)dx=θ(θ+1)∫(xθ?xθ+1)dx 0 0 1 11 ?xθ+1xθ+2?1θ?=θ(θ+1)??=θ(θ+1)= 。 ?θ+1θ+2?(θ+1)(θ+2)θ+2??0 解方程 ?=2X 。 =Eξ=X , 得到矩法估计 θ1?Xθ?+2 Λ θ? ?θxθ?1 3.2 设 ξ 的概率密度为 ?(x)=? ?0 0 ，其中，θ>0 是未知参数， (X1,X2,L,Xn) 是 ξ 的样本，求： （1）θ 的矩法估计； （2）θ 的极大似然估计。 解 (1) Eξ= +∞ 1 ∫ ?∞ x?(x)dx=∫xθxθ?1dx= 0 θθ+1 。 解方程 θ?θ?+1 ?==Eξ=X , 得到矩法估计 θΛ X 。 1?X (2) 先求似然函数： n ?nnθ?1 ?∏θxi=θ∏xiθ?1 L=∏?(xi)=?i=1 i=1 i=1??0 n 0 其他 当 L≠0 时，对 L 取对数，得到 lnL=nlnθ+(θ?1) ∑lnx i=1 n i 。 nndlnL 解方程 =+∑lnxi=0 ，得到极大似然估计 dθθi=1 θ?= ?n ∑lnX i=1 n = i ?11n lnXi∑ni=1 = ?1 。 lnX 1 3.3 设总体 ξ 服从Poisson分布，概率分布为 P{ξ=k}= λk k! e?λ , k=0,1,2,L ， 其中，λ>0 是未知参数，(X1,X2,L,Xn) 是 ξ 的样本，求： （1）λ 的矩法估计； （2）λ 的极大似然估计。 ?=Eξ=X 。 ，Eξ=λ, 所以矩法估计为 λ解 (1) 因为 ξ～P(λ)（Poisson分布） n n ∧ （2）似然函数 L= ∏P{ξ=x}=∏x!e i i=1 i=1 i n λxi ?λ= λ∑xi i=1 n ∏x! ii=1 n n e?nλ ， lnL=∑xilnλ?ln∏xi!?nλ 。 i=1 i=1 dlnL 解方程 = dλ ∑x i=1 n i λ1n??n=0 ，得到极大似然估计 λ=∑Xi=X 。 ni=1 3.4 设总体 ξ 服从几何分布，概率分布为 P{ξ=k}=(1?p)k?1p，k=1,2,L ， 其中，0 解 似然函数 L= ∏P{ξ=x}=∏(1?p) i i=1 i=1 nn xi?1 p=(1?p)i=1 ∑xi?n n pn 。 lnL=(∑xi?n)ln(1?p)+nlnp 。 i=1 n dlnL =?解方程 dp ∑x i=1 n i ?n + 1?p n ?==0 ，得到极大似然估计 p p n ∑X i=1 n = i 1 。 X 2 3.5 设总体 ξ 服从 [a,b] 上的均匀分布，概率密度为 ?(x)=? ?1(b?a)?0 a≤x≤b 其他 其中，a ξ 的样本，求： （1） a,b 的矩法估计； （2） a,b 的极大似然估计。 解 （1） Eξ= 2 +∞ ∫ 2 +∞ ?∞ x?(x)dx=∫x ab 2 b 1a+b ， dx= b?a2 E(ξ)=∫x?(x)dx=∫ ?∞ a 1a2+ab+b2 xdx= 。 b?a3 解方程 ?∧??+ba =Eξ=X??2 ?2∧?+b?2?+a?b?a=E(ξ2)=X2?3? (2)?(1)2： (1) , (2) ?)2a?+b?2?2??b?2+a?b?+b1n2(aa22 =?()=X?X=∑Xi?X2=S2 ， 1232ni=1 两边开方： ???ba ???ba =±S=±S，即 =±3S 2232 (3) ， ?a??+b??ba ?=(1)+(3)得： a+=X±3S ， 22?a??+b??ba?(1)?(3)得： b=?=Xm3S ， 22 可得到两组解： ? ?a?a?=X?3S?=X+3S 和 ? 。 ???b=X+3S?b=X?3S ?a?=X?3S 因为a ? ?b=X+3S (2) 似然函数 3
数理统计课后答案-第三章汇编
