uuuruuurngAB1?3?36cos?n，AB1????． uuur?42g22ngAB1?二面角A?A1D?B的大小为
arccos6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．９ 4uuur（Ⅲ）由（Ⅱ），AB1为平面A1BD法向量， uuuruuur0，，0)AB1?(1，2，?3)． QBC?(?2，uuuruuurBCgAB1?22d?uuur??．．．．．．．．．．．．．．．１２
222AB119、解：（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点” 为事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互独立，P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=. 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以?的可能取值为1，3. P（?=3）=P（A1·A2·A3）+ P（A1?A2?A3）
= P（A1）P（A2）P（A3）+P（A1)P(A2)P(A3)） =2×××=，．．．．．４
P（?=1）=1－=.
所以?的分布列为 E?=1×+3×=.．．．．．．．8
P 1 3 ?点C到平面A1BD的距离
22（Ⅱ）解法一 因为f(x)?(x??)?1??,
32942[?,??)上单调递增， 所以函数f(x)?x?3?x?1在区间32要使f(x)在[2,??)上单调递增，当且仅当??2,即??324. 3从而P(A)?P(??)?P(??1)?0.76.．．．．．．．．．．．．．．．１２ 解法二：?的可能取值为1，3.
当?=1时，函数f(x)?x2?3x?1在区间[2,??)上单调递增， 当?=3时，函数f(x)?x2?9x?1在区间[2,??)上不单调递增， 所以P(A)?P(??1)?0.76.
20、解:(Ⅰ)由题意知f′(x)＝ ax2+bx－a2,且f′(x)＝ 0的两根为x1、x2. b
∴x1+x2＝ － x1x2＝ －a
a43Qa?0 ∴x1、x2 两根异号
∴|x1|+|x2|=| x2－x1|
∴(|x1|+|x2|)2＝ (x2+x1)2－4x1x2＝ 4. －b2∴( )+4a＝ 4.
a∴b2＝ (4－4a)a2.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．５分 (Ⅱ)由(1)知b＝ (4－4a)a≥0,且0＜a≤1
2
2
令函数g(a)＝ (4－4a)a2＝ －4a3+4a2(0＜a≤1) 32
g′(a)＝ －12a+8a＝ 8a(1－ a) 22
令g'(a)＝ 0 ∴a1＝ 0,a2＝ .
322
函数g(a)在(0, )上为增函数,( ,1)上为减函数.
33216
∴g(a)max＝ g( )＝ . 327
216
∴b≤ .
2743∴|b|≤ .．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分． 9
21、解：由双曲线的定义可知，曲线E是以F1?2,0,F2支，
且c?2,a?1，易知b?1
故曲线E的方程为x?y?1?x?0?．．．．．．．．３
22???2,0为焦点的双曲线的左
? 设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由题意建立方程组?22 消去y，得1?kx?2kx?2?0
?y?kx?1 22?x?y?1??又已知直线与双曲线左支交于两点A,B，有
?1?k2?0?22????2k??8?1?k??0???2?k??1．．．．．．．．．５ ?x?x??2k?0 解得
12?1?k2??2?x1x2??0?1?k2?22又∵ AB?1?k?x1?x2?1?k??x1?x2?2?4x1x2
22?2??2k??2?1?k2???4??221?k?1?k?2?1?k??2?k?
?1?k?22依题意得 2?1?k??2?k??6?1?k?22223 整理后得 28k?55k?25?0
422∴k?5552或k? 但?2?k??1 ∴k??
274故直线AB的方程为
5x?y?1?0．．．．．．．．．．．．．．．．７ 2uuuruuuruuur设C?xc,yc?，由已知OA?OB?mOC，得?x1,y1???x2,y2???mxc,myc?
?x?x2y1?y2∴?mxc,myc???1,mm???，?m?0? ?2k2k22??45，y1?y2?k?x1?x2??2?2?2?2又x1?x2?2?8 k?1k?1k?1∴点C???458?
?m,m????．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．９
将点C的坐标代入曲线E的方程，得
8064?2?1 2mm得m??4，但当m??4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴m?4，C点的坐标为?5,2
5??5?2?12??C到AB的距离为???5?2???1?2?2?1 3∴?ABC的面积
11S??63??3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２
23
22、解：解：(Ⅰ)由题意的：f –1(x)=
px?11?x= f(x)=，所以p = –1.所以an=
x?1x?p?n?1…………………………………………………………………………3分 n?1(Ⅱ)因为正数数列{cn}的前n项之和Sn=
1n(cn+)，
cn2所以c1=
11(c1+)，解之得：c1=1，S1=1
c12当n ≥ 2时，cn = Sn–Sn–1，所以2Sn = Sn–Sn–1 +n，
Sn?Sn?1Sn +Sn–1 =
n22，即：Sn?Sn?1= n，
Sn?Sn?122222?S12=2，累加得： 所以，Sn?1?Sn?2= n–1，Sn?2?Sn?3= n–2，……，S22Sn?S12=2+3+4+……+ n，
Sn=1+2+3+4+……+ n =
2n(n?1)， 2n(n?1)Sn=………………………………………………８
2（Ⅲ)在(1)和(2)的条件下，d1=2， 当n≥2时，设dn=?1112?==2()， 2anSnn(n?1)n?1n由Dn是{dn}的前n项之和，
11111111?)] Dn=d1+d2+……+dn=2[1+(?)+(?)+(?)+……+(
122334n?1n =2(2–
1)…………………………………………………………………１０ n因为Dn>log a (1–2a)恒成立，即log a (1–2a)恒小于Dn的最小值， 显然Dn的最小值是在n=1时取得，即(Dn)min=2，
所以log a (1–2a)<2，1–2a>0，所以0
河北单招模拟试题及答案卷四数学
