精品文档
α1,α2,β1是向量组α1,α2,β1,β2的极大无关组，故它是V1?V2的基，
dim(V1?V2)?3.
(2)设α?V1IV2，即α?V1且α?V2，于是
α?k1α1?k2α2?k3β1?k4β2 将α1,α2,β1,β2的坐标代入上式，解之得
52 k1?0,k2?k4,k3??k4
33于是
555 α?k1α1?k2α2?k4(?,,?5,)T
333555所以V1IV2的基为(?,,?5,)T，维数为1.
333又解交空间V1IV2的向量实质上就是求在V2中向量k1β1?k2β2也能由
α1,α2线性表示的这部分向量，即确定k1,k2使得
秩(α1,α2,k1β1,?k2β2)?秩(α1,α2) 此即
15k1?5k2?12k1?3k2?? 03k1?2k2??00?2于是 3k1?2k2?0,k1??k2
3代入
2k1β1?k2β2?k2(?β1?β2)3
555T?k2(?,,?5,)333?2?14k1?k2??1?115k?5k??012?????3?33k1?3k2??0???11?k?k?0?12?555所以V1IV2的基为(?,,?5,)T，dim(V1?V2)?1.
333
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
精品文档
（Ⅰ）（Ⅱ）1-33 解：方程组与的交空间就是这两个方程组的所有公共解所构成
的空间，此即方程组
?3x4?x5?0?x1?x2?x?x?2x?4x?0?1234 ?4x?2x?6x?3x?4x?02345?1??2x1?4x2?2x3?4x4?7x5?0的解空间.容易求得该方程组的基础解系为
(?1,1,1,0,0)T,(12,0,?5,2,6)T，它就是所求V1IV2的基，dim(V1IV2)?2.
（Ⅰ）1-34 解：(1)不难看出α1,α2是线性齐次方程组
?x3?2x1?x2 ?x?x?42（Ⅰ）
（Ⅰ）的基础解系，方程组的解空间为V1.而β1,β2是线性齐次方程组（Ⅱ）
?x2?2x1?3x4 ??x3??3x4（Ⅱ）
（Ⅱ）的基础解系，方程组的解空间为V2.
（Ⅰ）（Ⅱ）交空间V1IV2实质上是与公共解的空间，即方程组
?x3?2x1?x2?x?x?42 ?x?2x?3x14?2??x3??3x4（Ⅲ）
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
精品文档
（Ⅲ）的解空间.不难求得方程组的基础解系为(?1,?1,?3,1)T，此即V1IV2的基，维数为1.
(2)
V1?V2?span{α1,α2,β1,β2}?span{α1,α2,β1}?span{α1,α2,β2}?span{α2,β1,β2}所以dim(V1?V2)?3，基为α1,α2,β1.
1-35 解：A(α1)?(1,1,0)T?β1?β2,A(α2)?(2,1,1)T?2β1?β2?β3于是所求矩阵
为
?12?? A??11????01??3?2
1-36 解：D (1)?0，D (x)?1，D (x2)?2x，L，D (xn)?nxn?1，于是
所求矩阵为
?0?0 D???M??010L02LMM00L0?0?? ?M?n?n?(n?1) 注 对于线性映射D：R[x]n?1?R[x]n D(f(x))?df(x) dx 在基1,x,x2,L,xn与基1,x,x2,L,xn?1下的矩阵表示为
?0?0?D??M??0??0
10M0002M00LLLL0?0??? M?n?0??(n?1)?(n?1)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
精品文档
1-37 解：
xx1S(1)??dt?x,S(x)??tdt?x2,002x1S(x2)??t2dt?x3,L, 03x1S(xn?1)??tn?1dt?xn0n于是所求矩阵为
?0?1??0S????M??0?
0L0L1L2M0L0?0???0? ?M?1??n?(n?1)?n1-38 解：(1)核子空间就是求X?R3满足A(x)?0，由于X?R3.故
?x1?? x X?(α1,α2,α3)?2????x3?? 于是
?x1??x1???(β,β)A?x? x A(x)?A(α1,α2,α3)?212???2????x3???x3?? 所以所求X的坐标x1,x2,x3应是齐次方程组
?x1??11?1??? ???x2??0 012???x??3? 的解空间，求的它的基础解系为 x1?3,x2??2,x3?1
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
精品文档
因此核子空间N(A)的基是
x1α1?x2α2?x3α3?3α1?2α2?α3?(?5,4,4)T,
dimN(A)?1.
注：N(A)的基不是(3,?2,1)T.而是3α1?2α2?α3.为什么？N(A)的
基是
(3,?2,1)T. (2)A的值域
R(A)?span{A(α1),A(α2),A(α3)}
?span{β1,β1?β2,?β1?2β2}?span{β1,β1?β2}?span{β1,β2}?R2
1-39 解：(1)不难求得
A(α1)?α1??α1?α2
A(α2)?α2???α1?α2?α3 A(α3)?α3???α1?2α2?α3
因此A在α1,α2,α3下矩阵表示为
?1?1?1??? A???112?
?011????k1???(2)设ξ?(α1,α2,α3)?k2?，即
?k??3??1??101??k1??????? ?2???120??k2?
?3???1?1?1??k??????3?解之得
k1?10,k2??4,k3??9
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案讲课讲稿
