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②设
?y1??1??y??0?ξ???(β1,β2,β3,β4)?2?
?y3??1??????0??y4?将β1,β2,β3,β4坐标代入上式后整理得
?y1??2?y??1?2????y3???1????y4??103105321?7???9??16??1??8???????6??0??27????
1??1??1????3??0??3??2????27?评注：只需将αi,βi代入过渡矩阵的定义?β1,β2,β3,β4???α1,α2,α3,α4?P计算出P.
1-7 解：因为
span{α1,α2}?span{β1,β2}?span{α1,α2,β1,β2}
由于秩span{α1,α2,β1,β2}?3，且α1,α2,β1是向量α1,α2,β1,β2的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为α1,α2,β1.
方法一 设ξ?span{α1,α2}Ispan{β1,β2}，于是由交空间定义可知
?1???1??2??1??2??1???1???1?k1???k2???k3???k4???0 ?1??1??0??3?????????011???????7?解之得
k1??l2,k2?4l2,l1??3l2(l2为任意数)
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于是
ξ?k1α1?k2α2?l2[?5,2,3,4]T(很显然ξ?l1?1?l2?2)
所以交空间的维数为1，基为[?5,2,3,4]T. 方法二 不难知
?span{α1,α2}?span{α1,α?2},span{β1,β2}?span{β1,β2}
T?其中α?2?[?2,?2,0,1],β2?[?13,2,1,0]T.又span{α1,α?2}也是线性方程3组
?x1?x3?2x4 ??x2?2x3?x4的解空间.span{β1,β?2}是线性方程组
13?x??x3?2x4?1 3??2x3?x4?x2?的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组
x3?2x4?x1??x?2x3?x42?? 13??x1??3x3?2x4?2x3?x4??x2?的解空间，容易求出其基础解系为[?5,2,3,4]T，所以交空间的维数为1，基为[?5,2,3,4]T.
评注：本题有几个知识点是很重要的.(1)span{α1,α2,L,αn}的基底就是α1,α2,L,αn的极大线性无关组.维数等于秩
{α1,α2,L,αn}.(2)span{α1,α2}?span{β1,β2}?span{α1,α2,β1,β2}.(3)方
法一的思路，求交span{α1,α2}Ispan{β1,β2}就是求向量ξ，既可由
α1,α2线性表示，又可由β1,β2线性表示的那部分向量.(4)方法二是借
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用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”，将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解.
1-8解:
?x1?2x2?x3?x4?0(1):解出方程组的基础解系,即是V1的基, （Ⅰ）??5x1?10x2?6x3?4x4?0（Ⅱ）x1?x2?x3?2x4?0的基础解系,即是V2的基; 解出方程组
?x1?2x2?x3?x4?0?(2): 解出方程组?5x1?10x2?6x3?4x4?0的基础解系,即为V1?V2的基;
?x?x?x?2x?04?123(3):设V1?span??1,L,?k?,V2?span??1,L,?l?,则?1,L,?k,?1,L,?l的极大无关组即是V1?V2的基. 1-9解:仿上题解.
1-10解: 仿上题解.
1-11 证：设
l0ξ?l1A(ξ)?l2A2(ξ)?L?lk?1Akk?1(ξ)?0 ①
用Ak?1从左侧成①式两端，由Al0Ak?1(ξ)?0可得
(ξ)?0
因为Ak?1(ξ)?0，所以l0?0，代入①可得
2l1A(ξ)?l2A(ξ)?L?lk?1Ak?1(ξ)?0 ②
用Ak?2从左侧乘②式两端，由A2k(ξ)?0可得l0?0，继续下去，可
k?1得l2?L?lk?1?0，于是ξ,A(ξ),A
(ξ),L,A(ξ)线性无关.
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1-12 解：由1-11可知，n个向量ξ?0,A(ξ),A是V的一个基.又由
2(ξ),L,An?1(ξ)线性无关，它
A[ξ,A(ξ),A?[A(ξ),A?[A(ξ),A222(ξ),L,An?1n?1n?1(ξ)](ξ),L,A(ξ),L,A(ξ)](ξ),0]0L0L1LM0L0L00? 00??00??MM?00??10?n?n?0?1??0?[ξ,A(ξ),A2(ξ),L,An?1(ξ)]??M?0??0所以A在ξ,A(ξ),A2(ξ),L,An?1(ξ)下矩阵表示为n阶矩阵
?0?1??0??M?0??00L0L1LM0L0L00?00??00?? MM?00??10?评注：n维线性空间V中任何一组n个线性无关的向量组都可以构成
V的一个基，因此ξ,A(ξ),A
2(ξ),L,An?1(ξ)是V的一个基.
1-13证: 设??1,L,?r,L,?s????1,L,?m?A,A???1,L,?r,L,?s? 设?1,L,?r是?1,L,?r,L,?s的极大无关组，
则可以证明?1,L,?r是?1,L,?r,L,?s的极大无关组. 1-14 解：(1)由题意知
A[α1,α2,α3]?[α1,α2,α3]A
?111?? [β1,β2,β3]?[α1,α2,α3]?011????001??设A在基β1,β2,β3下的矩阵表示是B，则
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?111??B?P?1AP??011????001???24????3?4??23?1?123??111???103??011???????215????001?? 4??6??8??的核是零空间.由维数
(2)由于A?0，故AX?0只有零解，所以A定理可知A
的值域是线性空间R3.
1-15解:已知A??1,?2,?3????1,?2,?3?A
(1) 求得式??1,?2,?3????1,?2,?3?P中的过渡矩阵P,则B?P?1AP即为所求; (2)仿教材例1.5.1.(见<矩阵分析>史荣昌编著.北京理工大学出版社.) 1-16解:
设A???1,?2,?3?,则R(A)?span??1,?2,?3?;N(A)就是齐次方程组Ax?0 的解空间. 1-17证:
由矩阵的乘法定义知AB与BA的主对角线上元素相等,故知AB与BA的迹相等;再由1-18 题可证. 1-18证:
对k用数学归纳法证。
1-19证：设A????,则A2???2?,即?=?2?,即?=1或-1。
1-20证：设A????,则A2???2?,即A?=?2?,即?=1或0。
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《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案讲课讲稿
