《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案
精品文档
第1章 线性空间和线性变换（详解）
1-1 证：用Eii表示n阶矩阵中除第i行，第i列的元素为1外，其余元素全为0
的矩阵.用Eij(i?j,i?1,2,L,n?1)表示n阶矩阵中除第i行，第j列元素与第j行第i列元素为1外，其余元素全为0的矩阵.
n(n?1)个.不难证明Eii，Eij是线性无2n(n?1)n(n?1)关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+=个矩阵线性表示，此
22n(n?1)即对称矩阵组成维线性空间.
2n(n?1)同样可证所有n阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为.
2n(n?1)评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个维线性空间，
2n(n?1)只需找出个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这
2n(n?1)个向量线性表示即可. 2
显然，Eii，Eij都是对称矩阵，Eii有1-2解: 令??x1?1?x2?2?x3?3?x4?4 解出x1,x2,x3,x4即可.
1-3 解：方法一 设A?x1E1?x2E2?x3E3?x4E4
即
?12??11??11??11??10? ??x?x?x?x?1?11?2?10?3?00?4?00? 03??????????故
?12??x1?x2?x3?x4 ????x1?x203???于是
x1?x2?x3?? x1?x1?x2?x3?x4?1,x1?x2?x3?2
x1?x2?0,x1?3
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
精品文档
解之得
x1?3,x2??3,x3?2,x4??1
即A在E1,E2,E3,E4下的坐标为(3,?3,2,?1)T.
方法二 应用同构的概念，R2?2是一个四维空间，并且可将矩阵A看做
(1,2,0,3)T，
E1,E2,E3,E4可看做(1,1,1,1)T,(1,1,1,0)T,(1,1,0,0)T,(1,0,0,0)T.于是有
?1?1??1??11111??1?01102????1000??0??0003??03?100?3?? 0102??001?1?000因此A在E1,E2,E3,E4下的坐标为(3,?3,2,?1)T.
1-4 解：证：设k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0
即
?11??11??11??10?k1???k2?01??k3?10??k4?11?11????????
k?k?k?kk?k?k????1234123??0k1?k2?k4??k1?k3?k4于是
k1?k2?k3?k4?0,k1?k2?k3?0
k1?k3?k4?0,k1?k2?k4?0
解之得
k1?k2?k3?k4?0
故α1,α2,α3,α4线性无关. 设
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
精品文档
?ab??11??11??11??10??x?x?x?x?cd?1?11?2?01?3?10?4?11???????????
?x?x?x?xx?x?x???1234123?x1?x2?x4??x1?x3?x4于是
x1?x2?x3?x4?0,x1?x2?x3?0 x1?x3?x4?0,x1?x2?x4?0
解之得
x1?b?c?d?2a,x2?a?c
x3?a?d,x4?a?b
x1,x2,x3,x4即为所求坐标.
1-5 解：方法一 （用线性空间理论计算）
?1??0?23??p(x)?1?2x3???1,x,x,x???0????2??y1??y?23?2????1,x?1,(x?1),(x?1)???y?3???y4?
又由于
23??1,x?1,(x?1),(x?1)???111?1?223?0???1,x,x,x???001??0001? 3???3??1?于是p(x)在基1,x?1,(x?1)2,(x?1)3下的坐标为
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
精品文档
?y1??1?y??0?2????y3??0????y4??0111??1??3??0??6?1?23???????
01?3??0??6??????001??2??2??1方法二 将p(x)?1?2x3根据幂级数公式按x?1展开可得
p(x)?1?2x3p??(1)p???(1)(x?1)2?(x?1)3 2!3!?3?6(x?1)?6(x?1)2?2(x?1)3?p(1)?p?(1)(x?1)?因此p(x)在基1,x?1,(x?1)2,(x?1)3下的坐标为?3,6,6,2?.
评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些. 1-6 解：①设
T?β1,β2,β3,β4???α1,α2,α3,α4?P
将α1,α2,α3,α4与β1,β2,β3,β4代入上式得
?2?1???1??1056??100??110336????121??0?11??013??00?11?0??P 0??1?故过渡矩阵
?1??1P???0??0?1?2??3???2?1?2?3??201?10?21121??2?100???10???1???11??11???2?2?54??2?95?2??118?2?0?1056?336??121??013?
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
《矩阵分析》（第3版）史荣昌，魏丰 第一章课后习题答案讲课讲稿
