北京科技大学825高等代数2014到2003十二套考研真题

北 京 科 技 大 学 2014年硕士学位研究生入学考试试题

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试题编号： 825 试题名称： 高等代数 （共 2 页） 适用专业： 数学、统计学、固体力学 说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效.

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一(15分)、设f(x)=anxn+an?1xn?1+L+a1x+a0是一个整系数多项式. 证明：如果an+an?1+L+a1+a0是奇数，则f(x)既不能被x?1整除，又不能被x+1整除.

1+a1111+a2二(20分)、计算行列式Dn=LL11

LLLL11，其中a1a2Lan?0. L1+an三(15分)、设A为n阶方阵，证明：rank(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量?,?，使得A=??T(rank(A)表示A的秩).

四(20分)、(1)若A,B都是n阶方阵，证明：rank(A)+rank(B)?n+rank(AB). (2)若A1,A2,L,As(s?2)都是n阶方阵，证明：

?rank(A)?n(s?1)+rank(AALi12i=1sAs)

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