[教师备选例题]
??x＋1，x≤0，
设函数f(x)＝?x??2，x＞0
?1?则满足f(x)＋f?x－?＞1的x的取值范围是________．
?2?
?－1，＋∞? [根据分段函数的性质分情况讨论，?1?当x≤0时，则f(x)＋f?x－?＝x＋1?4????2?
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＋x－＋1＞1，解得－＜x≤0.当x＞0时，根据指数函数的图像和性质以及一次函数的性
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?1??1?质与图像可得，f(x)＋f?x－?＞1恒成立，所以x的取值范围是?－，＋∞?.]
?2??4?
??2x，x＞0，
1.已知f(x)＝?
?fx＋1，x≤0，?
?4??4?则f ??＋f ?－?的值等于( )
?3??3?
B．4 D．－4
A．－2 C．2
48?4?B [由题意得f ??＝2×＝，
33?3?
f ?－?＝f ?－?＝f ??＝2×＝，
333
?4????1????2???
2343
?4??4?所以f ??＋f ?－?＝4.] ?3??3?
??2，x≤0，
2．已知函数f(x)＝?
?|log2x|，x＞0，??1?
A.?，4? ?4??1??? 1，C.
4??
??2＝2，A [由f(x)＝2得①?
?x≤0?
xx
则使f(x)＝2的x的集合是( )
B．{1,4}
??1
?? 1，，4D．
4??
??|log2x|＝2，
或②?
?x＞0.?
1
由①知无解．由②得x＝或x4
＝4.故选A.]
??x－4，x≥2，
3．(2019·深圳模拟)已知函数f(x)＝?2
?x－4x＋3，x＜2.?
则不等式f(x)＜0的解集
是________．
(1,4) [不等式f(x)＜0等价于
??x≥2，
?
?x－4＜0?
??x＜2，
或?2
?x－4x＋3＜0，?
即2≤x＜4或1＜x＜2，
故不等式f(x)＜0的解集为(1,4)．]
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课外素养提升① 数学抽象——函数的新定义问题
以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题．
【例】 (2019·深圳模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图像恰好经过n(n∈N＋)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数：
①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x；
3
?1?x③h(x)＝??；④φ(x)＝ln x.
?3?
其中是一阶整点函数的是( ) A．①②③④ C．①④
B．①③④ D．④
C [对于函数f(x)＝sin 2x，它的图像(图略)只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函数，排除D；
对于函数g(x)＝x，它的图像(图略)经过整点(0,0)，(1,1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A；
3
?1?x对于函数h(x)＝??，它的图像(图略)经过整点(0,1)，(－1,3)，…，所以它不是一阶
?3?
整点函数，排除B.故选C.]
[评析] 本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图像恰好经过1个整点，问题便迎刃而解．
【素养提升练习】 1.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x＋1，值域为{1,3}的同族函数有( )
A．1个 C．3个
2
2
2
B．2个 D．4个
C [由x＋1＝1得x＝0，由x＋1＝3得x＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．]
2．若定义在R上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f(－x)＝f(x)，则称f(x)为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是( )
A．f(x)＝cos x C．f(x)＝x－2x
2
B．f(x)＝sin x D．f(x)＝x－2x
3
D [A中函数为偶函数，则在定义域内均满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；B中，当x 12
＝kπ(k∈Z)时，满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；C中，由f(x)＝f(－x)，得x－2x＝x3
3
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＋2x，解得x＝0，不符合题意；D中，由f(x)＝f(－x)，得x－2x＝－x＋2x，解得x＝0或x＝±2，满足题意，故选D.]
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高考数学一轮复习第2章函数第1节函数及其表示教学案理北师大版
