学业分层测评(十四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为( )
23
x2y2
?2323?A.?－，?
3??3
23??23??
B.?－∞，－?∪?，＋∞?
3??3??
?4?C.?，＋∞?
?3?
4??D.?－∞，－?
3??
【解析】 因为点P在椭圆＋＝1的外部，
232323
所以＋＞1，解得a＞或a＜－.
2333【答案】 B
x2y2
a212
x2y2
2．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥xab→→
轴，直线AB交y轴于点P.若AP＝2PB，则椭圆的离心率是( )
A.
3
2
B．
2 2
1C. 31D． 2
|AP|
【解析】 如图，由题意得OP∥FB，＝2，
|PB|
∴
|AO||AP|2a2c1
＝＝，即＝.∴＝e＝. |AF||AB|3a＋c3a2
【答案】 D
3．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为3
，且椭圆G上一点到其2
1
两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为
( )
A.
＋＝1 369
x2y2
B．＋＝1
936D．＋＝1
94
x2y2
C.＋＝1 49
x2y2x2y2
x2y2
【解析】 由题意设椭圆G的方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，因为椭圆G上一点到其两个
ab焦点的距离之和为12，所以a＝6.由离心率为＝36－27＝9，则椭圆G的方程为＋＝1.
369
【答案】 A
4．椭圆(1－m)x－my＝1的长轴长为( ) A.21－m 1－m2m－1B．
m－1－2－－mD． 1－m＋＝1， 11
－1－mm2
2
3c3222
，得＝，解得c＝33.所以b＝a－c2a2
x2y2
2－mC．－
m【解析】 椭圆标准方程为
x2y2
??1－m＞0，∴???－m＞0.
∴m＜0.
11此时1－m＞－m＞0，∴＜－. 1－mm1122
∴a＝－，b＝，2a＝2m1－m【答案】 C
12－m－＝－. mmx2y2
5．已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4yab4
＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的
5离心率的取值范围是( )
A.?0，C.?
??3?? 2?
?3?B．?0，? ?4??3?D．?，1? ?4?
?3?
，1? ?2?
【解析】 根据椭圆的对称性可求得a的值，再根据短轴的端点到直线的距离求得b
2
的取值范围，代入离心率公式即可得答案．
根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2(|AF|4c＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝2≥，所以1≤b<2，所以e＝＝2
5a3＋－4
3
1－.因为1≤b<2，所以0 42【答案】 A 二、填空题 6．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______________________． ＝2b?a【解析】 由已知得?a－b＝c?c＝23 2 2 |3×0－4×b| b21－2＝ab22 ∴a＝16，b＝4. 22 ∴标准方程为＋＝1. 164【答案】 ＋＝1 164 x2y2 x2y2 x2y2x2y2 7．椭圆2＋2＝1和2＋2＝k(k＞0，a＞0，b＞0)具有________． abab①相同的顶点；②相同的离心率；③相同的焦点；④相同的长轴和短轴． x2y2 【解析】 不妨设a＞b，则椭圆2＋2＝k的离心率e2＝ abx2y2 圆2＋2＝1的离心率e1＝ab【答案】 ② ka2－kb2＝ka2a2－b2.而椭a2 a2－b2 ，故②正确． a2 4 8．焦点在x轴上的椭圆，焦距|F1F2|＝8，离心率为，椭圆上的点M到焦点F1的距离2， 5 N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________． c4 【解析】 ∵|F1F2|＝2c＝8，e＝＝，∴a＝5， a5 ∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8. 又∵O，N分别为F1F2，MF1的中点， ∴ON是△F1F2M的中位线， 1 ∴|ON|＝|MF2|＝4. 2【答案】 4 3 三、解答题 9．已知椭圆mx＋(m＋3)y＝m(m＋3)(m＞0)的离心率e＝长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标． 2 2 3 ，求m的值及椭圆的长轴2 y22222 【解】 椭圆方程可化为＋＝1，则a＝m＋3，b＝m，c＝a－b＝3.所以em＋3m＝ 3 ＝，解得m＝1，则a＝2，b＝1，c＝3. m＋32 所以椭圆的标准方程为＋y＝1，椭圆的长轴长为4；短轴长为2；焦点坐标分别为(－ 43，0)，(3，0)；顶点坐标分别为(－2,0)，(2,0)，(0,1)，(0，－1)． 3 x2 x2 2 x2y23 10．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2. ab2 (1)求该椭圆的方程； → 与最小值． 【解】 (1)设椭圆的半焦距为c， 由题意＝→ (2)若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求PF1·PF2的最大值 ca3 ，且a＝2，得c＝3，b＝1， 2 ∴所求椭圆方程为＋y＝1. 4 → 2 x2 2 → (2)设P(x，y)，由(1)知F1(－3，0)，F2(3，0)，则PF1·PF2＝(－3－x，－y)·(332?x?－x，－y)＝x＋y－3＝x＋?1－?－3＝x－2，∵x∈[－2,2]， 4?4? 2 2 2 ∴当x＝0，即点P为椭圆短轴端点时， → → [能力提升] 1．若直线ax＋by＋4＝0和圆x＋y＝4没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆＋ 94＝1的公共点个数为( ) A．0 C．2 B．1 D．需根据a，b的取值来确定 2 2 2 2 →→ PF1·PF2有最小值－2；当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1·PF2有最大值1. x2y2 【解析】 直线ax＋by＋4＝0与圆x＋y＝4没有公共点，即相离， 4 ∴ 4 a＋ba2b2 22 ＞2，∴a＋b＜4， 22 ∴＋＜1， 44∴＋＜＋＜1， 9444 ∴(a，b)在椭圆＋＝1的内部故有2个公共点． 94【答案】 C a2b2a2b2 x2y2 x2y2 2．设F1，F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段 abPF1的中点在y轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为( ) 1A. 6C.3 6 1B． 3D． 3 3 【解析】 设PF1的中点为M，连接PF2，由于O为F1F2的中点，则OM为△PF1F2的中位线，所以OM∥PF2， 所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°. 由于∠PF1F2＝30°，所以PF1＝2PF2， 由勾股定理得F1F2＝PF1－PF2＝3PF2， 3PF23PF2 由椭圆定义得2a＝PF1＋PF2＝3PF2?a＝，2c＝F1F2＝3PF2?c＝，所以椭圆的 22离心率为e＝＝ 【答案】 D 3．如图3-1-2，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为 F1， 2 2 ca3PF223 ·＝.故选D. 23PF23 F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为________． 图3-1-2 5
2017-2024学年北师大版选修2-1 椭圆的简单性质 课时作业
