专题09 导数的综合应用
考点30 生活中的最优化问题
1．（2017全国卷1理16）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ．
【答案】415 13【解析】如下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x>0)，则OG??x32?3x． 63x， 622?FG?SG?5???3??3?3?SO?h?SG2?GO2??5?x?x?55?x? ??????6????， 63???????三棱锥的体积V??11323?1535?5x4?x． S△ABC?h??x?5?5?x???1233343??设n?x??5x4?35534x，x>0，则n??x??20x3?x， 333令n??x??0，即4x?x43?0，得x?43，易知n?x?在x?43处取得最大值．
∴Vmax?15?48?5?4?415． 12 1 / 50
2．（2020江苏17）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO?为铅垂线（O?在AB上）．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离
12a；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离4013h2（米）b?6b．与F到OO?的距离b（米）之间满足关系式h2??己知点B到OO?的距离为40米．
800h1（米）与D到OO?的距离a（米）之间满足关系式h1?（1）求桥AB的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于OO?的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点）．桥墩EF每米造价k（万元），桥墩CD每米造价k（万元）（k?0）， 问O'E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？
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【答案】（1）桥AB的长度为120米；（2）O?E为20米时，桥墩CD与EF的总造价最低． 【解析】（1）过A，B分别作MN的垂线，垂足为A?，B?，则
AA??BB???1?403?6?40?160． 800 2 / 50
令
12a?160，得a?80，∴AO??80，AB?AO??BO?? 80?40?120． 40（2）设O?E?x，则CO??80?x，由?总造价y??0?x?40得0?x?40．
?0?80?x?803k113k[160?(80?x)2??k?160?(?x?6x)]?(x3?30x2?160?800) 240800800k3ky??（3x2?60x)?x(x?20)，∵k?0，∴令y??0，得x?0或20，
800800∴当0?x?20时，y??0，y单调递减；
当20?x?40时，y??0，y单调递增，∴当x? 20时，y取最小值，造价最低．
考点31 利用导数解决恒成立问题与探索性问题
?x2?2ax?2a,x?11．（2019天津理8）已知a?R，设函数f(x)??，若关于x的不等式f(x)?0在R上
?x?alnx,x?1恒成立，则a的取值范围为
A．0,1 B．0,2 C．0,e D．1,e 【解析】当x?1时，f?1??1?2a?2a?1?0恒成立； 当x?1时，f?x??x?2ax?2a2????????0?2a2x2恒成立， x?12?1?x?1????1?x??2?1?x??1? x2x2令g?x??????x?11?x1?x1?x1??1?x???21?x所以2a??1???2?1?x??1?x?2???0， ??g?x?max?0，即a?0．
0?ax恒成立， lnx当x?1时，f?x??x?alnx1xx?lnx?1， 令h?x??，则h??x??22lnx?lnx??lnx?lnx?x?当x?e时，h??x??0，h?x?递增，当1?x?e时，h??x??0，h?x?递减， 所以当x?e时，h?x?取得最小值h?e??e．
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所以ah?x?min?e．
综上，a的取值范围是?0,e?．
2．（2014辽宁）当x?[?2,1]时，不等式ax3?x2?4x?3?0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[?5,?3] B．[?6,?] C．[?6,?2] D．[?4,?3] 【答案】C
【解析】当x?(0,1]时，得a≥?3()3?4()2?981x1x11，令t?，则t?[1,??)， xxa≥?3t3?4t2?t，令g(t)??3t3?4t2?t，t?[1,??)，
则g??x???9t?8t?1??(t?1)(9t?1)，显然在[1,??)上，g??t??0，
2g(t)单调递减，所以g(t)max?g(1)??6，因此a≥?6；
同理，当x?[?2,0)时，得a≤?2．由以上两种情况得?6≤a≤?2． 显然当x?0时也成立，故实数a的取值范围为[?6,?2]． 3．（2020全国Ⅰ理21）已知函数f?x??e?ax?x．
x2（1）当a?1时，讨论f?x?的单调性； （2）当x?0时，f?x??13x?1，求a的取值范围． 2【答案】（1）当x????,0?时，f'?x??0,f?x?单调递减，当x??0,???时，f'?x??0,f?x?单调递增；
?7?e2?,???． （2）??4?【思路导引】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可； (2)首先讨论x?0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围．
xx2【解析】(1)当a?1时，f?x??e?x?x，f'?x??e?2x?1，
由于
f''?x??ex?2?0，故f'?x?单调递增，注意到f'?0??0，故：
当x????,0?时，f'?x??0,f?x?单调递减；
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专题09 导数的综合应用——2021年高考数学专项复习含真题及解析
