2005考研数学二真题及答案
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）设y?(1?sinx)，则dy|x??=______ .
x（2） 曲线y?(1?x)x232的斜渐近线方程为______ . （3）
?(2?x01xdx2?______ .
19)1?x（4） 微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??的解为______ . 2（5）当x?0时，?(x)?kx与?(x)?1?xarcsinx?cosx是等价无穷小，则
k= ______ .
（6）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵
A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)， 如果A?1，那么B? .
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数f(x)?limn1?xn??3n，则f(x)在(??,??)内
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]
（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有
(A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.
(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.
(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ]
?x?t2?2t,（9）设函数y=y(x)由参数方程?确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴
?y?ln(1?t)交点的横坐标是
11ln2?3.
88(C) ?8ln2?3. (D) 8ln2?3. [ ]
(A) ln2?3. (B) ?（10）设区域D?{(x,y)x?y?4,x?0,y?0}，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为
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常数，则
??Daf(x)?bf(y)f(x)?f(y)d??
(A) ab?. (B) [ ]
aba?b?. (C) (a?b)?. (D) ? . 22（11）设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)?具有一阶导数，则必有
?x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数，?
?2u?2u?2u?2u (A) 2??2. （B） 2?. 2?x?y?x?y?2u?2u?2u?2u?(C) . (D) . [ ] ??x?y?x2?x?y?y2（12）设函数f(x)?1exx?1,则 ?1(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.
(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.
(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]
（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，
A(?1??2)线性无关的充分必要条件是
(A) ?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ ]
（14）设A为n（n?2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A,B分别为A,B的伴随矩阵，则
(A) 交换A的第1列与第2列得B. (B) 交换A的第1行与第2行得B. (C) 交换A的第1列与第2列得?B. (D) 交换A的第1行与第2行得?B. [ ] 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15）（本题满分11分）
**********?设函数f(x)连续，且f(0)?0，求极限limx?0x0(x?t)f(t)dtx0.
x?f(x?t)dt（16）（本题满分11分）
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如图，C1和C2分别是y?1(1?ex)和y?ex的图象，过点(0,1)的曲线C3是一单调2增函数的图象. 过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly. 记C1,C2与
lx所围图形的面积为S1(x)；C2,C3与ly所围图形的面积为S2(y).如果总有
S1(x)?S2(y)，求曲线C3的方程x??(y).
（17）（本题满分11分）
如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分
?30(x2?x)f???(x)dx.
（18）（本题满分12分）
用变量代换x?cost(0?t??)化简微分方程(1?x)y???xy??y?0，并求其满足
2yx?0?1,y?x?0?2的特解.
（19）（本题满分12分）
已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I）存在??(0,1), 使得f(?)?1??；
（II）存在两个不同的点?,??(0,1)，使得f?(?)f?(?)?1. （20）（本题满分10分）
已知函数z=f(x,y) 的全微分dz?2xdx?2ydy，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域
y2D?{(x,y)x??1}上的最大值和最小值.
42（21）（本题满分9分） 计算二重积分
??Dx2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.
（22）（本题满分9分）
TTT确定常数a,使向量组?1?(1,1,a),?2?(1,a,1),?3?(a,1,1)可由向量组
?1?(1,1,a)T,?2?(?2,a,4)T,?3?(?2,a,a)T线性表示，但向量组?1,?2,?3不能由向量
组?1,?2,?3线性表示.
（23）（本题满分9分）
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?123???已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B?246（k为常数），????36k??且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.
参考答案
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）设y?(1?sinx)，则dyxx?? = ??dx .
【分析】 本题属基本题型，幂指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐函数求导.
xln(1?sinx)【详解】 方法一： y?(1?sinx)=e，于是
x y??e从而 dyxln(1?sinx)?[ln(1?sinx)?x?cosx]，
1?sinxx??=y?(?)dx???dx.
方法二： 两边取对数，lny?xln(1?sinx)，对x求导，得
1xcosxy??ln(1?sinx)?， y1?sinxx于是 y??(1?sinx)?[ln(1?sinx)?x? dy=y?(?)dx???dx.
cosx]，故
1?sinxx??（2） 曲线y?(1?x)x32的斜渐近线方程为y?x?3. 2【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为a=limx???f(x)(1?x)?lim?1, x???xxx(1?x)?xx323232 b?lim?f(x)?ax??limx???x????3， 2于是所求斜渐近线方程为y?x?（3）
3. 2?(2?x01xdx2)1?x2?
? . 4 - 4 -
【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令x?sint，则
?(2?x01xdx2?)1?x2??20sintcostdt
(2?sin2t)cost? =??20dcost??arctan(cost)1?cos2t19?20??4.
（4） 微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??的解为y?11xlnx?x.. 39【分析】直接套用一阶线性微分方程y??P(x)y?Q(x)的通解公式：
?P(x)dxP(x)dx[Q(x)e?dx?C]， y?e??再由初始条件确定任意常数即可.
【详解】 原方程等价为
y??于是通解为 y?e=
?2y?lnx， x?xdx2?xdx2[?lnx?edx?C]?12?[xlnxdx?C] 2?x111xlnx?x?C2， 39x111由y(1)??得C=0，故所求解为y?xlnx?x.
9392（5）当x?0时，?(x)?kx与?(x)?1?xarcsinx?cosx是等价无穷小，则
k=
3 . 4【分析】 题设相当于已知lim?(x)?1，由此确定k即可.
x?0?(x)【详解】 由题设，lim?(x)1?xarcsinx?cosx ?limx?0?(x)x?0kx2xarcsinx?1?cosxkx(1?xarcsinx?cosx)2 =limx?0
=
1xarcsinx?1?cosx33lim??1k?. ，得2kx?04k4x2（6）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵
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2005考研数学二真题及答案
