卓越人才培养合作高校 2012年自主选拔学业能力测试
数学
本卷共100分，考试用时90分钟 注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码
2.黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上。答在卷上的无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（1）若以椭圆短轴的两个端点和长轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则椭圆的离心率为 ____ 。 （2）函数f(?)?sin?(??R)的值域为 。
2?cos?（3）设0?a?1，0???π，x?(sin?)logasin?，y?(cos?)logatan?，则x，y的大小关系为 4__________。
????????（4）已知?ABC中，?A?90o，BC?4，点A是线段EF的中点，EF?2，若EF与BC的
????????CF= 。 夹角为60o，则BE?（5）设{an}是等差数列，记{an}，若a3?b3，{bn}是等比数列，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn。a4?b4，且
S5?S3a?a3?5，则5? 。
T4?T2b5?b3（6）设函数f(x)?sin??x???，其中??0，??R，若在常数T(T?0)，使对任意x?R有f?x?T??Tf?x?，则?可取到的最小值为 。
二、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（7）（本小题满分10分）
试a，b是从集合{1,2,3,4,5}中随机选取的数
（Ⅰ）求直线y?ax?b与圆x2?y2?2有公共点的概率
（Ⅱ）设X为直线y?ax?b与圆x2?y2?2的公共点的个数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)。
（8）（本小题满分10分）
AB?10，CD?8，如图，AB是?O的直径，弦CD垂直AB于点M，E是CD延长线上一点，
3ED?4OM，EF?O的切线，F是切点，BF与CD相交于点G， （Ⅰ）求线段EG的长；
（Ⅱ）连线DF，判断DF是否平行于AB，并证明你的结论。（注：根据解题需要，须将图形自行画在大题卡上。）
AFOECMGBD
（9）（本小题满分10分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB?BC，侧面PAB?底面ABCD，PA?AD?AB?1，BC?2。 （Ⅰ）证明平面PBC?平面PDC；
（Ⅱ）若?PAB?120o，求二面角B?PD?C的正切值。（注：根据解题需要，须将图形自行画在答题卡上）
PADBC
（10）（本小题满分10分）
设抛物线y2?2px(p?0)的焦点是F，A，B是抛物线上互异的两点，直线AB与x轴不垂直，线段AB的垂直平分线交x轴于点D(a,0)，记m?|AF|?|BF|。 （Ⅰ）证明a是p与m的等差中项
（Ⅱ）设m?3p，直线l平行y轴，且l被以AD为直径的动圆截得的弦长恒为定值，求直线l方程。
（11）（本小题满分15分）
ax2?1已知函数f?x??，其中a是非零实数，b?0。
bx（Ⅰ）求f?x?的单调区间 （Ⅱ）若a?0，设|xi|?f?x1??f?x2??f?x3??1a，i?1，2，3，且x1?x2?0，x2?x3?0，x3?x1?0。证明：
2a； b（Ⅲ）若f?x?有极小值fmin，且fmin?f(1)?2，证明|f?x?|n?|fxn|?2n?2n?N*。
（12）（本小题满分15分）
n?N*。设数列{an}的前n项和为Sn，其中u，且u?v， a1?0，vSn?1?uSn?a1v，v是正整数，
????（Ⅰ）证明{an}为等比数列；
（Ⅱ）设a1，ap两项均为正整数，其中p?3。 （ⅰ）若p?a1，证明v整除u；
（ⅱ）若存在正整数m，使得a1?mp?1，ap??m?1?
p?1，证明Sp??m?1??mp。
p
卓越联盟2012数学真题（无答案）
