高中数学-导数与函数的极值、最值练习
1．函数f(x)＝2x－6x－18x－7在[1,4]上的最小值为( ) A．－64 B．－61 C．－56 D．－51 2．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )
33
A．12 cm B．72 cm
33
C．144 cm D．160 cm
3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y13
＝－x＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
3
A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件
3
2
4．(2017年广东东莞二模)已知函数f(x)＝xe－x－mx，则函数f(x)在[1,2]上的最
2
小值不可能为( )
312
A．e－m B．－mlnm
2222
C．2e－4m D．e－2m
x5．(2017年广东惠州三模)设曲线f(x)＝－e－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为( )
A．[－1,2] B．(3，＋∞) ?21??12?C.?－，? D.?－，? ?33??33?
6．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( ) A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1) C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)
x2
7．已知f(x)＝xe，g(x)＝－(x＋1)＋a，若?x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是________．
3
8．(2015年安徽)设x＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是__________．(写出所有正确条件的编号)
①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b＞2； ④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.
2
9．已知函数f(x)＝ax－－3ln x，其中a为常数．
xm2
x?2?2???3?(1)当函数f(x)的图象在点?，f???处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在?，3?上
?2??3?3??
的最小值；
(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．
1
10．(2015年江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图X2-17-1，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝
(其中a，b为常数)模型． x＋b(1)求a，b的值；
(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
2
a
图X2-17-1
2
导数与函数的极值、最值
1．B 解析：f′(x)＝6x－12x－18＝6(x－2x－3)＝6(x－3)(x＋1)，由f′(x)＞0，得x＞3或x＜－1；由f′(x)＜0，得－1＜x＜3.故函数f(x)在[1,3]上单调递减，在[3,4]上单调递增，∴f(x)min＝f(3)＝2×27－6×9－18×3－7＝－61.
3
2．C 解析：设盒子容积为y cm，盒子的高为x cm，
32
则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x－52x＋160x(0＜x＜5)．
202
∴y′＝12x－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或x＝(舍去)．
3
3
∴ymax＝6×12×2＝144(cm)． 3．C 4.D
x5．D 解析：f′(x)＝－e－1，g′(x)＝3a－2sin x，在f(x)上取点(x1，y1)，在g(x)
11上取点(x2，y2)，要l1⊥l2，需3a－2sin x2＝x1，∵3a－2sin x∈[3a－2，3a＋2]，xe＋1e?1∈(0,1)，∴(0,1)
??3a－2≤0，
[3a－2,3a＋2]．则有?
??3a＋2≥1，
2
2
12
解得－≤a≤.
33
6．C 解析：不等式(x－1)f′(x)≥0等价于?
?x－1≥0，???f′
x≥0
或?
?x－1≤0，???f′
x≤0.
可知
f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，或者f(x)为常数函数，因此f(0)
＋f(2)≥2f(1)．
?1?xxx7.?－，＋∞? 解析：f′(x)＝e＋xe＝e(1＋x)，当x＞－1时，f′(x)＞0，函数?e?
f(x)单调递增；当x＜－1时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，所以函数f(x)的最小值为
111
f(－1)＝－.而函数g(x)的最大值为a，则由题意，可得－≤a，即a≥－.
eee
32
8．①③④⑤ 解析：令f(x)＝x＋ax＋b，求导得f′(x)＝3x＋a，当a≥0时，f′(x)≥0，所以f(x)单调递增，且至少存在一个数使f(x)＜0，至少存在一个数使f(x)＞0，所以f(x)33
＝x＋ax＋b必有一个零点，即方程x＋ax＋b＝0仅有一根，故④⑤正确；当a＜0时，若a2
＝－3，则f′(x)＝3x－3＝3(x＋1)(x－1)，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在[－1,1]上单调递减，所以f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要使方程仅有一根，则f(x)极大＝f(－1)＝b＋2＜0或者f(x)极小＝f(1)＝b－2＞0，解得b＜－2或b＞2，故①③正确．所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.
23?2?9．解：(1)由题意可知f′(x)＝a＋2－，f′??＝1， xx?3?
99
即a＋－＝1，解得a＝1.
22
2x－1x－2
故f(x)＝x－－3ln x，则f′(x)＝. 2
xx由f′(x)＝0，得x＝1或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： ?3，2? x 2 (2,3] ?2???f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 1－3ln 2 ↗ ?3?从而在?，3?上，f(x)有最小值，最小值为f(2)＝1－3ln 2. ?2?
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高中数学-导数与函数的极值、最值练习
