的指数衰减函数，其一般表达式可以写为：
2） 零输入响应的衰减快慢取决于时间常数τ，其中RC 电路τ=RC , RL 电路τ=L/R R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。
3） 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
4） 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。
经典法求解一阶电路零输入响应的步骤：
1) 根据基尔霍夫定律和元件特性列出换路后的电路微分方程，该方程为一阶线性齐次常微分方程；
2) 由特征方程求出特征根；
3) 根据初始值确定积分常数从而得方程的解。
例7-5 图示电路中的电容原本充有 24V 电压，求开关闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。
例 7-5 图（a） 例 7-5 图（b）
解：这是一个求一阶RC零输入响应问题，t＞0 后的等效电路如图（b）所示，有：
代入
得：
分流得 ：
注意：通常为了分析方便，将电路中纯电阻部分从电路中分离出来并简化其等效电路。
例7-6 图示电路原本处于稳态，t=0 时 , 打开开关，求 t＞0 后电压表的电压随时间变化的规律，已知电压表内阻为10kΩ，电压表量程为50V 。
例7—6 图
解： 电感电流的初值为： iL(0) = iL (0) = 1A
开关打开后为一阶 RL 电路的零输入响应问题，因此有：
+－
代入初值和时间常数： 得电压表电压： t =0 时，电压达最大值：
+
，会造成电压表的损坏。
注意：本题说明 RL 电路在换路时会出现过电压现象，不注意会造成设备的损坏。
例7-7 图示电路原本处于稳态，t =0 时 , 开关 K 由 1→2 ，求 t＞0 后的电感电压和电流及开关两端电压u12。
例 7—7 图（a） 图（ b ）
解：电感电流的初值为：
开关打开后为一阶RL电路的零输入响应问题，其等效电路如图（b）所示，等效电阻为：
时间常数：
因此电感电流和电压为：
开关两端的电压：
§7.3 一阶电路的零状态响应
教学目的：掌握一阶电路零状态响应的物理概念和过渡过程。 教学重点：零状态响应一般公式。 教学难点：零状态响应的求解。 教学方法：课堂讲授。
教学内容：
一阶电路的零状态响应是指动态元件初始能量为零，t＞0 后由电路中外加输入激励作
用所产生的响应。 用经典法求零状态响应的步骤与求零输入响应的步骤相似，所不同的是零状态响应的方程是非齐次的。 一、直流激励下的零状态响应 1. RC 电路的零状态响应
图 7.12
－
图7.12所示RC充电电路:开关闭合前处于零初始状态，即电容电压uC(0)=0，开关闭合后，根据KVL可得：
把
其解答形式为：
代入上式得微分方程：
：特解，也称强制分量或稳态分量，是与输入激励的变化规律有关的量。通过设微
分方程中的导数项等于0，可以得到任何微分方程的直流稳态分量，上述方程满足
。
另一个计算直流稳态分量的方法是在直流稳态条件下，把电感看成短路，电容视为开路再加 以求解。
：为齐次方程的通解，也称自由分量或暂态分量。
方程 的通解为：
因此
由初始条件 uC(0+)=0 得积分常数 A=－Us
则
从上式可以得出电流 ： 从以上各式可以得出：
（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数，电容电压由两部分构成： 稳态分量（强制分量） + 暂态分量（自由分量）
各分量的波形及叠加结果如图 7.13 所示。电流波形如图 7.14 所示。
图 7.13 图 7.14
（2）响应变化的快慢，由时间常数τ＝ RC 决定；τ大，充电慢，τ小充电就快。 （3）响应与外加激励成线性关系； （4）充电过程的能量关系为：
电容最终储存能量：
电源提供的能量为：
电阻消耗的能量为：
图 7.15
以上各式说明不论电路中电容 C 和电阻 R 的数值为多少， 电源提供的能量总是一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中，即充电效率为 50% 。电路中能量的分配如图 7.15 所示。
2.RL 电路的零状态响应
用类似方法分析图 7.16 所示的RL电路。电路在开关闭合前处于零初始状态，即电感电流 iL(0)=0 ，开关闭合后，根据 KCVL 可得：
－
图 7.16
图 7.17
图 7.18
把
其解答形式为：
代入上式得微分方程：
令导数为零得稳态分量：
因此
由初始条件 ， 得积分常数
则
－
例7-8 图示电路在t =0 时 , 闭合开关 K ，已知uC（0）=0 ，求（1）电容电压和电流；（2）电容充电至uC＝80V 时所花费的时间 t 。
例 7 — 8 图
解：(1) 这是一个 RC 电路零状态响应问题，时间常数为：
t＞0 后，电容电压为：
充电电流为：
（2）设经过 t1 秒， uC ＝ 80V ，即： 解得：
例7-9 图示电路原本处于稳定状态，在t=0时打开开关K，求t＞0后iL和uL的变化规律。
一阶电路和二阶电路的时域分析
