1．
解 由an?xn?xn?1（n?1），得2．
证明 将f(1)、f(0)在x点（0?x?1）用Taylor公式展开并相减，则得
f(1)?f(0)?f'(x)?
11，由于f(0)?f(1)，因此得f''(?)(1?x)2?f''(?)(0?x)2（0??,??1）
2222此不等式可以改进为：f'(x)?1（0?x?1），因为0?x?1时，上式(1?x)?x?1．
3． 证明 4．
?10(1?t)[x2f11(tx,ty)?2xyf12(tx,ty)?y2f22(tx,ty)]dt
证明 （反证法），假设f(x0,y0)不是f(x,y)在x,y?0上的最大值。由于2lim2存在r?0，当x?y?r,x?0,y?0时，f(x,y)?f(x0,y0)。
2222x?y??f(x,y)?0，
考察闭区域D?{(x,y):x?0,y?0,x?y?r}，显然(x0,y0)?D，由已知f(x,y)在D上连续，从而f(x,y)在D上取得最大值，设为f(x1,y1)。显然在?D上，总有f(x,y)?f(x0,y0)，因而必有：
f'x(x1,y1)?f'y(x1,y1)?0。当x2?y2?r,x?0,y?0时，f(x,y)?f(x0,y0)?f(x1,y1)，因此
f(x1,y1)是f(x,y)在x,y?0上的最大值。由假设，(x1,y1)?(x0,y0)。
这与已知矛盾，可知假设不真。
5．设处处有f''(x)?0．证明：曲线y?f(x)位于任一切线之上方，且与切线有唯一公共点．
证明 设(x0,y0)为曲线y?f(x)上任一点，在该点处曲线的切线方程为对曲线y?f(x)上任意点，按Taylor公式展开，得
由f''(x)?0知，当x?x0时，f(x0)?f'(x0)(x?x0)?f(x)，而(x0,y0)为唯一公共点．得证．
6．求I?xdy?ydx?L4x2?9y2，L是取反时针方向的单位圆周．
解 L的参数方程：x?cos?,y?sin?,0???2?7．
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证明 F(t)?
x2?y2?z2?t2???f(x2?y2?z2)dxdydz(x?y)f(x?y)dxdy2222x2?y2?t2??r??2?r0t0t23f(r2)drf(r)dr2，当t?0时因此，F(t)（t?0）是严格单调减函数。
?
?1?anan8．设级数?收敛，证明??anxdx??n．
0n?0n?1n?0n?0n?1?
??anann?1ax在?0,1?上一致收敛，从而S(x)??nxn?1左连证明 由?收敛知，S(x)??n?0n?1n?0n?1n?0n?1??x?xann?1?anann?1nnx?(at)dt?axdx?x，续，即lim．对，有?x?(0,1)?????n??00nx?1?n?1n?1n?1n?0n?0n?0n?0n?0?
x?n?ann?1?an(?ant)dt?limx??于是??anxdx?lim．?0x?1??0x?1?n?0n?0n?0n?1n?0n?1n1?
9．设f(x)在[0,?)上连续，其零点为xn:0?x0?x1?积分
?xn?，xn??(n??)．证明：
??0f(x)dx收敛?级数??n?0?xn?1xnf(x)dx收敛．
?证明
??n?0Nxn?1xnf(x)dx??xN?1xN?10f(x)dx，若?f(x)dx收敛，则
0
??n?0?xn?1xnf(x)dx?lim?
n??0f(x)dx?limxN?1??0?xN?1f(x)dx????0f(x)dx，即??n?0?xn?1xnf(x)dx收敛。
若
??0f(x)dx不收敛，同理可知??n?0?xn?1xnf(x)dx不收敛。
b
10．设a?b，fn(x)在[a,b]上连续，
?afn(x)dx?0（n?1,2,），当n??时，fn(x)在[a,b]上一致收敛于f(x)．证明：至少存在一点x0?[a,b]，使得f(x0)?0．
证明 由fn(x)在[a,b]上一致收敛于f(x)，得知f(x)在[a,b]上连续，且数列
?bafn(x)dx收敛于
?baf(x)dx，即lim?fn(x)dx??f(x)dx，由于?fn(x)dx?0，得?f(x)dx?0，至少存在一点
n??aabbbbaa
x0?[a,b]，使得f(x0)?0．
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证法，推出矛盾．注 或用反证法：若对?x?[a,b]，有f(x)?0，由f(x)的连续性得
?baf(x)dx?0，与上面相同
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华中科技大学2018年数学分析试题解答
