授课章节 目的要求 重点难点 第四章 随机变量的数字特征 掌握期望与方差的概念，熟练掌握计算期望与方差的方法 随机变量函数的期望和方差 第二章我们讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性．但在一些实际问题中，不需要去全面考察随机变量的整个变化情况，而只需知道随机变量的某些统计特征．例如，在检查一批棉花的质量时，只需要注意纤维的平均长度，以及纤维长度与平均长度的偏离程度，如果平均长度较大、偏离程度较小，质量就越好．从这个例子看到，某些与随机变量有关的数字，虽然不能完整地描述随机变量，但能概括描述它的基本面貌．这些能代表随机变量的主要特征的数字称为数字特征．本章介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差和相关系数． §1 数学期望 一、数学期望的定义 先看一个例子，某年级有100名学生，17岁的有2人，18岁的有2人，19岁的有30人，20岁的有56人，21岁的有10人，则该年级学生的平均年龄为 (17?2?18?2?19?30?20?56?21?10)100?19.7 或 17?22305610?18??19??20??21??19.7 100100100100100我们称这个平均值是数17、18、19、20、21的加权平均值，它是把这五个数的地位或权重看得不同。而17?18?19?20?21?19是把这五个数的地位或权重看得相同。对于一般随机变量，其5平均值定义如下： 定义 设离散型随机变量X的分布律为P{X?xk}?pk， k = 1、2、… ，或列表如下： X P 若级数x1 p1 x2 p2 …… …… xk pk …… …… ?xk?1?kpk绝对收敛，则称其收敛值为随机变量X的数学期望或 ??均值，记为E(X)??xk?1kpk．若级数?xkpk发散，则称随机变量X的数学期望不存在。 k?1设连续型随机变量X的密度函数为f(x)，若积分?????xf(x)dx绝对收敛，则称此收敛值为X的数学期望或均值。记为E(X)，即E(X)?量X的数学期望不存在。 ?????xf(x)dx。若积分?|x|f(x)dx发散，则称随机变????例1 设甲、乙两人打靶，击中的环数分别记为X、Y，且分布如下： X P 8 0.3 9 0.4 10 0.3 Y P 8 0.4 9 0.5 10 0.1 试比较他们的射击水平。 解：显然，平均的环数可以作为衡量他们设计水平的一个重要指标。因此，由 E(X)?8?0.3?9?0.4?10?0.3?9、 E(Y)?8?0.4?9?0.5?10?0.1?8.7 可得，甲的射击水平优于、乙的射击水平。 例2 设连续型随机变量X的密度函数是f(x)??解：E(X)??2x0?x?1，求X的均值E（X） 。 其它?0??1?????xf(x)dx??0dx??2x2dx??0dx???0012。 3二、几种重要分布的数学期望。 （1）0-1分布或两点分布 分布律： 则 E(X)?0?(1?p)?1?p?p。 （2）二项分布 b(n,p) kkn?k分布律：P{X?k}?Cnp(1?p)，k = 0、1、… 、n， X P 0 1-p 1 p 由 E(X)??kp??kCkk?0k?0nnknpqkn?kkkn?k??kCnpq， k?1n因为 Cn?kn(n?1)L(n?k?1)n(n?1)L(n?k?1)nk?1??Cn?1， k!k(k?1)!k所以E(X)?np?Ck?1nk?1n?1pk?1q(n?1)?(k?1)?np(p?q)n?1?np。 （3） 泊松分布?(?) 2 / 8
?k??e，k = 0、1、… ，所以， 分布律：P{X?k}?k!??k????k?k?1????E(X)??ke??e??e???e??e???。 k!k?1k?1(k?1)!k?1(k?1)!?连续（4） 均匀分布 X~U(a,b) ?1?均匀分布的概率密度为 f(x)??b?a??0E(X)????a?x?b其它，因而 ??xf(x)dx??xf(x)dx??abbaxb2?a2a?bdx??。 b?a2(b?a)2（5） 指数分布 ?1?x/???e??xx?0x?0?e指数分布的密度为f(x)??或f(x)??? ， x?0?0?x?0?0E(X)??????xf(x)dx???xe0????xdx????0xd(?e??x)??xe??x??0 ????11??e??xdx??e??x? 。或 E(X)?? 。 00??（6） 均匀分布 X~N(?,?) 2正态分布的密度函数为f(x)?12???e?(x??)22?2，所以 t?x?? 或 x??t?? E(X)??????xf(x)dx??2????xe2??2(x??)22?2dx???????????? ????????t???1?t2tedt???e2dt??。 ??2?2?三、随机变量函数的数学期望 在许多实际问题中，我们经常需要计算随机变量函数的数学期望，例如，飞机机翼受到的压力W?kV2的作用，其中V为风速是随机变量，我们需要知道机翼受到的平均压力。为此，下面给出随机变量函数的数学期望的计算公式。 定理1 设Y为随机变量X的函数：Y?g(X)(g是连续函数)， 3 / 8
（1）X是离散型随机变量，分布律为pk?P(X?xk),k?1,2,???；则有（2）X是连续型随机变量，它的E(Y)?E[g(X)]??g(xk)pk。条件是?g(xk)pk绝对收敛。k?1k?1分布密度为f(x)，则有E(Y)? E[g(X)]??????g(x)f(x)dx。条件是?g(x)f(x)dx绝对收敛。 ????定理1 告诉我们：求E(Y)时，不必知道Y的分布，而只需知道X的分布就可以了。 例3 随机变量X的分布律如表3-2： 表3-2 X P 求E(X),E(0 1 2 3 1111 24881),E(X2)． 1?X11117解： E(X)?0??1??2??3?? 2488811111111167 E()?????????1?X1?021?141?281?389612111152222 E(X)?0??1??2??3?? 24888定理2 设Z是随机变量(X,Y)的连续函数Z?g(X,Y)， （1）(X,Y)是二维离散型随机变量，联合分布律为 pij?P(X?xi,Y?yj),i,j?1,2,?； 则有 E(Z)?E[g(X,Y)]???i?1j?1??g(xi,yj)pij。 （2）(X,Y)是二维连续型随机变量，联合分布密度为f(x,y)， 则有 E(Z)?E[g(X,Y)]???????????g(x,y)f(x,y)dxdy． 例4 设风速V在（0，a）上服从均匀分布，即它的密度函数是 ?1?f(v)??a??0（W）?解：E0?v?a其它，又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数W?kV，求W的数学期望。 2?????kvf(v)dv??0dv????20a0??1ka2kvdv??0dv?。 aa324 / 8
例5随机变量（X，Y）的联合密度函 ?3?32数是f(x,y)??2xy?0?1?x,1?y?xx 其它求 数学期望E（Y），E（1/XY）. 解：??由??公式??E(Z)?E[g(X,Y)]??x?????????g(x,y)f(x,y)dxdy，得E(Y)???????yf(x,y)dxdy??dx?y11/x33。 dy?2x3y24三、数学期望的性质 1°． 设c是常数，则有E(c)?c． 2° 设X是随机变量，设c是常数，则有E(cX)?cE(X)． 3° 设X，Y是随机变量，则有E(X?Y)?E(X)?E(Y) ．（该性质可推广到有限个随机变量之和的情况） 4° 设X，Y是相互独立的随机变量，则有 （可推广到有限个随机变量之积的情况） E(XY)?E(X)E(Y)．1、2由读者自己证明．我们来证明3和4．我们仅就连续型情形给出证明，离散型情形类似可证． 证明: 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)，其边缘分布密度为fX(x)，fY(y) ．则 E(X?Y)???????????(x?y)f(x,y)dxdy???????????xf(x,y)dxdy+??????????yf(x,y)dxdy ?E(X)?E(Y)。 性质3得证． 又若X和Y相互独立，此时f(x,y)?fX(x)fY(y)，故有 E(XY)??????xyf(x,y)dxdy ?[?????xfX(x)dx]][?????yfY(y)dy]?E(X)E(Y) §2 方差 先看一个例子，设甲、乙两人打靶，击中的环数分别记为X、Y，且分布如下： X 8 9 10 Y 8 9 10 5 / 8
概率论与数理统计—随机变量的数字特征
