2019届中考数学一轮复习讲义
教师：魏孔堂
一、一元二次方程及有关概念
1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.
2. 一般形式:ax2+bx+c=0(其中a、b、c为常数，a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数.
3. 一元二次方程必须具备三个条件：(1)必须是整式方程；(2)必须只含有1个未知数；(3)所含未知数的最高次数是2.
【温馨提示】在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程. 4. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
二、一元二次方程的解法：
解一元二次方程的基本思想——转化，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解. 直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法. 三、一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)： (1)b2－4ac＞0?方程有两个不相等的实数根； (2)b2－4ac＝0?方程有两个的实数根； (3)b2－4ac＜0?方程没有实数根． 四、一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝?五、一元二次方程的应用
1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步. 2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容： (1)增长率等量关系: A.增长率＝
bc，x1x2＝． aa增长量×100%；
基础量B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b;当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有a(1-m)n=b.
1
(2)利润等量关系:
A.利润＝售价-成本； B.利润率＝利润成本×100%. (3)面积问题
考点典例一、解一元二次方程
【例1】（2018江苏省句容市月考）解下列方程：（有指定方法必须用指定方法） （1）2x2?3x?1?0（配方法）； （2）3x2?4x?1?0（公式法） （3）?x?3??4x?x?3??0． （4）?x?3??x?4??8．
【点睛】一元二次方程有四种解法:因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法. （1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解; （2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;
（3）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解; （4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解. 【举一反三】
1. （2018天津市宁河区联考）方程2x（x-3）=7（3-x）的根是（ ） A. x=3 B. x=
2777 C. x1=3，x2= D. x1=3，x2=- 2222. （2017山东德州第15题）方程3x(x-1)=2(x-1)的根是 考点典例二、配方法
【例2】用配方法把代数式3x－2x2－2化为a(x＋m)2＋n的形式，并说明不论x取何值，这个代数式的值总是负数．并求出当x取何值时，这个代数式的值最大．
【点睛】(1)代数式的配方是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法．在配方前，先将二次项系数－2提出来，使括号中的二次项系数化为1，然后通过配方分离出一个完全平方式．(2)注意与方程的配方的区别． 【举一反三】
（2018山东省临沂市郯城县中考模拟）用配方法解下列方程，配方正确的是（ ） A. 2y2﹣4y﹣4=0可化为（y﹣1）2=4 B. x2﹣2x﹣9=0可化为（x﹣1）2=8 C. x2+8x﹣9=0可化为（x+4）2=16 D. x2﹣4x=0可化为（x﹣2）2=4 考点：解一元二次方程.
考点典例三、一元二次方程根的判别式
2
【例3】关于x的一元二次方程
A. 有两不相等实数根 B. 有两相等实数根 C. 无实数根 D. 不能确定
的根的情况是（ ）
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根． 【举一反三】
1. 关于的一元二次方程A.
B.
C.
有两个实数根，则的取值范围是（ ） D.
根的判别式
，
【点评】考查一元二次方程当当当
时，方程有两个不相等的实数根. 时，方程有两个相等的实数根. 时，方程没有实数根.
22. 关于x的方程x?2kx?1?0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A．k≥0 B．k＞0 C．k≥﹣1
D．k＞﹣1
点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
考点典例四、一元二次方程根与系数的关系
【例4】（2018?罗平县一模）若方程x2﹣3x﹣4=0的两根分别为x1和x2，则
11?的值是（ ） x1x2A．1 B．2 C．﹣
34 D．﹣ 43点睛：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键． 【举一反三】
1. （2018?天心区校级模拟）已知a、b是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则a2+a+3b的值是 ．
点睛：本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，难度适中，关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．
2. 已知关于的一元二次方程
A. 2 B. -1 C. 2或-1 D. 不存在
3
有两个不相等的实数根，若,则的值是( )
2020年中考数学一轮复习讲义 一元二次方程
