2．3.2 离散型随机变量的方差
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一、选择题
1．设随机变量ξ的分布列为P(ξ ＝k)＝Cnp(1－p)( )
A．p，p(1－p) C．np，np(1－p)
B．p(1－p)，np D．np(1－p)，np
kkn－k，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为
解析：显然ξ～B(n，p)，∴E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)． 答案：C
214
2．已知X是离散型随机变量，P(X＝1)＝，P(X＝a)＝，E(X)＝，则D(2X－1)＝( )
3331
A. 34C. 3
1B．－
98D. 9
214?4?22?4?212
解析：由题意，知1×＋a×＝，解得a＝2，∴D(X)＝?1－?×＋?2－?×＝，
333?3?3?3?39282
∴D(2X－1)＝2D(X)＝4×＝.
99
答案：D
3．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4) A．0.7 C．0.4 B．0.6 D．0.3 解析：由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.6或p＝0.4.由P(X＝4) 答案：B 4．设随机变量X的分布列如下： 4 2 2 4 4 6 6 6 X P 15 若E(X)＝，则D(X)等于( ) 8A. 1 0.5 2 3 x y 7 32 B. 9 32 1 1C. 255D. 64 ?x＋y＝0.5，? 解析：由题可得?15 0.5＋2x＋3y＝，?8? 1 x＝，??8解得?3 y＝??8， ?15?2?15?21?15?2355 ∴D(X)＝?1－?×0.5＋?2－?×＋?3－?×＝，故选D. 8?8?8?8?864?? 答案：D 214 5．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1 3332 ＝，则x1＋x2的值为( ) 9 5A. 3C．3 7B. 311D. 3 解析：分析已知条件，利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得 214x·＋x·＝，??333 ??4?2?4?12x－?·＋?x－?·＝，?3?3?3?39??? 1 2 1 2 2 2 5 x＝，??3解得?2 x＝??3 12 ??x1＝1， 或? ?x2＝2.? 又∵x1 ?x1＝1，???x2＝2. 1 6．设0 4 ξ P 则当a增大时( ) A．E(ξ)增大，D(ξ)增大 －1 3 40 1－a 41 a 2 B．E(ξ)减小，D(ξ)增大 C．E(ξ)增大，D(ξ)减小 D．E(ξ)减小，D(ξ)减小 33?1?解析：由题意得E(ξ)＝(－1)×＋0×?－a?＋1×a＝a－，所以当a增大时，E(ξ)44?4?3?23?3?2?1??3?253?2 增大．D(ξ)＝?－1－a＋?×＋?－a＋?×?－a?＋?1－a＋?×a＝－a＋a＋＝－ 4?4?4??4??4?216? ?a－5?2＋7.又0 ?4?4 4?? 答案：A 二、填空题 7．已知离散型随机变量X的分布列如下表. X P －1 0 1 2 1 12a b c 若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________. ??D?X?＝1， 解析：由? 1 a＋b＋c＋＝1，??12 511 解得a＝，b＝，c＝. 124451 答案： 124 E?X?＝0， ??1 得?a＋c＋＝1， 3 1?a＋b＋c＋＝1，?12 1 －a＋c＋＝0， 6 8．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为________． 解析：X的分布列为 X P 1 1 33 1 25 1 6111817则E(X)＝1×＋3×＋5×＝，D(X)＝. 3263917 答案： 9 9．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： 3 3 ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是； 5 4 ②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为； 326 ③从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为. 27其中正确结论的序号是________． C2C43 解析：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是3＝，正确； C65 12 ?2?②从中有放回的取球6次，每次任取一球，取到红球的次数X服从二项分布X～B?6，?，?3? 2?2?4 所以其方差D(X)＝6××?1－?＝，正确； 3?33? 2 ③从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次取到红球的概率P＝， 3 ?2?326 ∴至少有一次取到红球的概率为1－?1－?＝，正确． ?3?27 综上所述，正确的序号有①②③. 答案：①②③ 三、解答题 10．已知一个袋中装有6个乒乓球，其中4个黄色，2个白色，每次从袋中随机摸出1个乒乓球，若摸到白球则停止，一共有3次摸球机会．记X表示停止摸球时的摸球次数． (1)若每次摸出乒乓球后不放回，求E(X)； (2)若每次摸出乒乓球后放回，求D(X)． 解：(1)X的所有可能取值为1,2,3， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝××＋××＝ 4365 24324654 25 4265 415 2163 ?或P?X＝3?＝1－1－4＝2?， ??3155?? 14231则E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 315515(2)X的所有可能取值为1,2,3， P(X＝1)＝＝， 2163 4 P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝1－－＝， 12419 则E(X)＝1×＋2×＋3×＝， 3999 13 2499 426629 D(X)＝?1－?2×＋?2－?2×＋?3－?2×＝. 999 ?? 19? ? 1?3? 19? ? 2?9? 19? ? 462981 11．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示． 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X )及方差D(X )． 解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”， B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售 量低于50个”．因此 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6. P(A2)＝0.003×50＝0.15. P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为 3P(X＝0)＝C03·(1－0.6)＝0.064， 2P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)＝0.288， 2P(X＝2)＝C23·0.6(1－0.6)＝0.432， 3P(X＝3)＝C33·0.6＝0.216. 分布列为 X P 0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216 因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72. 5
2019_2020学年高中数学第2章随机变量及其分布3.2离散型随机变量的方差练习新人教A版选修2_3
