(3)x1x2＝，y1y2＝－p.
4
(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切． 112(5)＋＝. |AF||BF|p例3、如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x＝4y相切于点A.
2
p2
2
(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
【变式探究】已知F是抛物线y＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( )
3
A. 45
C. 4
B．1 7D. 4
2
解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为： 11315(|AF|＋|BF|)－＝－＝. 24244
答案：C
【方法技巧】
1．求抛物线的标准方程常采用待定系数法．利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值．注意定义转化．
2．直线与抛物线有且只有一个交点时，不一定有Δ＝0，还有 可能直线平行于抛物线的对称轴．
3．研究抛物线的几何性质时要注意结合图形进行分析． 【难点探究】
难点一 圆锥曲线的定义与标准方程
x2y222
例1、已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x＋y－6x＋5＝0相切，
ab且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 5445C.－＝1 D.－＝1 3663
x2y2x2y2
x2y2x2y2
【变式探究】(1)已知点P为双曲线－＝1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦
169点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则λ的值为( )
5443A. B. C. D. 8534
(2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为
2
.2
x2y2
过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________________．
【答案】(1)B (2)＋＝1
168
【解析】 (1)根据三角形面积公式把S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2转化为焦点三角形边之间的关系．根据S△IPF1＝S△
x2y2
IPF2＋λS△IF1F2，得|PF1|＝|PF2|＋λ|F1F2|，即2a＝2λc，则
a4
λ＝＝.注意内心是三角形内切圆的圆心，到三角形各边的距离相等．
c5
x2y2
(2)设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)．
ab22
因为离心率为，所以＝
22
b2
1－2， ab2122
解得2＝，即a＝2b.
a2
又△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋
|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝4a，所以4a＝16，a＝4，所以b＝2
所以椭圆方程为＋＝1.
168难点二 圆锥曲线的几何性质
2，
x2y2
x2y2y22
例2、已知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)与双曲线C2：x－＝1有公共的焦点，C2的一条
ab4
渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )
1322
A．a＝ B．a＝13
2122
C．b＝ D．b＝2
2
x2y2
【变式探究】已知双曲线2－2＝1左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线
ab与双曲线一个交点为P，且∠
PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为________．
【答案】y＝±2x
π6
b2b2b2b2b2b【解析】 根据已知|PF1|＝2·且|PF2|＝，故2·－＝2a，所以2＝2，＝2.
aaaaaa难点三 直线与圆锥曲线的位置关系
例3、设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为A(0,2)，右焦点F与点B(2，2)的距离为2.
(1)求椭圆的方程；
→
(2)是否存在经过点(0，－2)的直线l，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足|AM→
|＝|AN|？若存在，求直线l的倾斜角α；若不存在，请说明理由．
(2)由题意可设直线l的方程为y＝kx－2(k≠0)，由|AM|＝|AN|知点A在线段MN的垂直平
y＝kx－2，??22分线上，由?xy＋＝1??124
0，(*)
消去y得x＋3(kx－2)＝12，即可得方程(1＋3k)x－12kx＝
2222
由k≠0得方程(*)的Δ＝(－12k)＝144k>0，即方程(*)有两个不相等的实数根． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点P(x0，y0)，则x1，x2是方程(*)的两个不等的12k实根，故有x1＋x2＝2. 1＋3k从而有x0＝
22
x1＋x2
26k6k－＋3k＝2，y0＝kx0－2＝2
1＋3k1＋3k22
－2
＝2. 1＋3k于是，可得线段MN的中点P的坐标为?
?6k2，－22?.
??1＋3k1＋3k?
－2
2－22
1＋3k－2－＋3k又由于k≠0，因此直线AP的斜率为k1＝＝.
6k6k21＋3k－2－
由AP⊥MN，得
＋3k6k2
×k＝－1，即2＋2＋6k＝6，解得k＝±2
33
，即tanα＝±.33
π5ππ
又0≤α<π，故α＝或α＝.综上可知存在直线l满足题意，其倾斜角为α＝或666
5πα＝.
6
【点评】 本题属于圆锥曲线与方程的经典类试题，首先求出圆锥曲线方程，然后再研究直线与圆锥曲线的位置关系．在直线与圆锥曲线位置关系的问题中，等价转化和设而不求是解决问题的一个重要指导思想，本题解答中使用的是等价转化的方法，实际上也可以根据两点间距离公式得到点M，N的坐标满足的关系式，即x1＋(y1－2)＝x2＋(y2－2)，即(x1＋
2
2
2
2
x2)(x1－x2)＋(y1＋y2－4)(y1－y2)＝0，由于点M，N在直线上，y1＝kx1－2，y2＝kx2－2，代
入(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2－4)(y1－y2)＝0，得(x1＋x2)(x1－x2)＋(kx1＋kx2－8)(kx1－kx2)＝0，直线斜率存在，则x1≠x2，所以(x1＋x2)＋k[k(x1＋x2)－8]＝0，然后根据韦达定理整体代入即可求出k值．
【变式探究】如图所示，设P是圆x＋y＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M4
为PD上一点，且|MD|＝|PD|.
5
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； 4
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．
5
2
2
高考数学二轮复习精品资料专题09圆锥曲线教学案教师版
