§3.1 变化率与导数（１）
学习目标 1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景； 2．会求函数在某一点附近的平均变化率； 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数。
学习过程 一、新课导学 ※ 学习探究一 问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
问题2：高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
新知：平均变化率：_______________=_______
试试：设y?f(x)，x1是数轴上的一个定点，在数轴x上另取一点x2，x1与x2的差记为?x，即
?x= 或者x2= ，?x就表示从x1到x2的变化量或增量，相应地，
?y函数的变化量或增量记为?y，即?y= ；如果它们的比值，则上式就表示
?x为 ，此比值就称为平均变化率.
反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.
※ 典型例题
例1已知函数f(x)?x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率： （1）[1，1.1]； （2）[1，2]
变式：已知函数f(x)??x2?x的图象上一点(?1,?2)及邻近一点(?1??x,?2??y)，则
?y= ?x
小结
1.函数f(x)的平均变化率是 2.求函数f(x)的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率 ※ 学习探究二
问题3：计算运动员在0?t?65这段时间里的平均速度，并思考以下问题： 49⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 新知：
1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 2．导数的概念
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
f(x0??x)?f(x0)?y?lim?x?0?x?0?x?x
'y'|x?x0x?xf(x)y?f(x)00我们称它为函数在出的导数，记作或，即 limf(x0??x)?f(x0)?x?0?x
1. f?(x0)与x0的值有关.不同的x0 ,其导数值f?(x0)?lim一般也不相同.2. f?(x0)与?x的具体取值无关。3. f?(x0)可以不存在。说明： 4. 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称.※ 典型例题
例2 位移s（t） (单位：m)与时间t(单位：s)的关系为：s（t）=３ｔ＋１，求ｔ＝２时的瞬时速度ｖ．
'练习 ｆ(x)=3x+5,求f(2)
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh时，原油的温度（单位：c）为f(x)?x2?7x?15(0?x?8). 计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
0
小结
利用导数的定义求导，步骤为：
第一步，求函数的增量?y?f(x0??x)?f(x0)； 第二步：求平均变化率
?yf(x0??x)； ??x?x?y.
?x?0?x第三步：取极限得导数f?(x0)?lim
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. y?2x?1在(1,2)内的平均变化率为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0
2. 设函数y?f(x)，当自变量x由x0改变到x0??x时，函数的改变量?y为（ ） A．f(x0??x) B．f(x0)??x C．f(x0)?x D．f(x0??x)?f(x0)
3. 质点运动动规律s?t2?3，则在时间(3,3??t)中，相应的平均速度为（ ）
9A．6??t B．6??t?
?tC．3??t D．9??t
4. y?x2?2x?3在x?2附近的平均变化率是____
5. 一直线运动的物体，从时间t到t??t时，物体的位移为?s，那么lim?s为（ ）
?t?0?tＡ．从时间t到t??t时，物体的平均速度； Ｂ．在t时刻时该物体的瞬时速度；
Ｃ．当时间为?t时物体的速度； Ｄ．从时间t到t??t时物体的平均速度 6. y?x2在 x=1处的导数为（ ） A．2x B．2 C．2??x D．1
7. 在f?(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)中，?x不可能（ ）
?xA．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
8.如果质点A按规律s?3t2运动，则在t?3时的瞬时速度为 课后作业 1. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？
2. 一质量为3kg的物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s）的关系可用
1函数s(t)?1?t2表示，并且物体的动能U?mv2. 求物体开始运动后第5s时的动能.
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北师大版选修(1-1)第三章《变化率与导数》word教案
