课时跟踪检测（五） 柱体、锥体、台体的表面积与体积
一、题组对点训练
对点练一 柱体、锥体、台体的侧面积与表面积 1．棱长为3的正方体的表面积为( ) A．27 C．54
B．64 D.36
解析：选C 根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×3＝54.
2．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A．1∶2 C．1∶5
B．1∶3 D.3∶2
2
2
解析：选C 设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝5r.∴S侧＝πrl＝5πr，
S底＝πr2.则S底∶S侧＝1∶5.
3．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )
A.81π
4
B．16π 27πD.
4
2
C．9π
解析：选A 如图，设球心为O，半径为r，则在Rt△AOF中，(4－r)
2
2
9?281π9?2
＋(2)＝r，解得r＝，所以该球的表面积为4πr＝4π×?? ＝. 44?4?
4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )
A．7 C．5
B．6 D.3
解析：选A 设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.
5．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．
解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以
2
S表＝S底＋S侧＝6π.
答案：6π
对点练二 柱体、锥体、台体的体积
6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm)是( )
- 1 -
3
A．2 C．6
B．4 D.8
解析：选C 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的两底边长分别为1,2，高为2，
1
∴该几何体的体积为V＝×(2＋1)×2×2＝6.
2
7．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．
1
解析：易知圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝×2π×2，∴r＝1，
2则高h＝ l－r＝ 3.
113π2
∴V圆锥＝πr· h＝π×3＝. 333答案：
3π
3
2
2
8．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是________．
解析：几何体的直观图为正方体去掉以正方体中心为顶点，上底面为底面的四棱锥，其1202
体积为2×2×2－×1×2＝. 33
20
答案：
3
- 2 -
对点练三 求几何体体积的方法
9.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱
BB1，CC1上的点，则三棱锥A-A1EF的体积是________．
解析：因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1，AA1?平面AA1C1C，BB1
?平面AA1C1C，所以BB1∥
平面AA1C1C，从而点E到平面AA1C1C的距离就是点B到平面AA1C1C的距离，作BH⊥AC，垂足为点H，由于△ABC是正三角形且边长为4，所以BH＝11123，从而三棱锥A-A1EF的体积VA-A1EF＝VE-A1AF＝S△A1AF·BH＝×332×6×4×23＝83.
答案：83 二、综合过关训练
1．如图，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是( )
1
A. 32C. 3
1B. 23D. 4
1112
解析：选C ∵VC-A′B′C′＝V棱柱＝，∴VC-AA′B′B＝1－＝.
3333
2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( )
A.C.
1＋2π
2π1＋2π
π
1＋4πB. 4π1＋4πD. 2π
解析：选A 设圆柱的底面半径为r，高为h， 则由题设知h＝2πr，
∴S表＝2πr＋2πr·h＝2πr(1＋2π)，又S侧＝h＝4πr， ∴
2
2
2
22
S表1＋2π＝. S侧2π
3．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
- 3 -
A．88＋(25－2)π C．88＋(45－4)π
B．96＋(25－4)π D.88＋(25－4)π
解析：选A 由三视图，可知该几何体为一个正方体挖去一个半圆锥得到的几何体，故所1π×21
求几何体的表面积S＝4×4×6－×4×4－＋×π×2×25＝88＋(25－2)π.故选
222A.
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥D1-AB1C的表面积与正方体的表面积的比为( ) A．1∶1 C．1∶3
B．1∶2 D.1∶2
2
解析：选C 如图，三棱锥D1-AB1C的各面均是正三角形， 其边长为正方体的面对角线．设正方体的棱长为a，则面对角线长为2a，S锥
1
＝4×(2
2
a)2×
322
＝23a，S正方体＝6a，故S锥∶S正方体＝1∶3. 2
5．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 解析：设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr＝3π，且πl＝2πr.解得r＝1，即直径为2.
答案：2
6．把由曲线y＝|x|和y＝2围成的图形绕x轴旋转360°，所得旋转体的体积为________． 解析：由题意，y＝|x|和y＝2围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个共顶点的圆锥．
116π22
∵V圆柱＝π×2×4＝16π，2V圆锥＝2×π×2×2＝，
3316π32π
∴所求几何体的体积为16π－＝. 3332
答案：π
3
7．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． 1
解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2πr＝πl，得l＝6r.
3
2
- 4 -
又S圆锥＝πr＋πr·6r＝7πr＝15π，得r＝
22
15， 715， 7
圆锥的高h＝13
13
??6?
157
15???－?7??
2
15?
?＝35·7?15253＝π. 77
2
V＝πr2h＝π××35×
8．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱． (1)求圆锥的侧面积．
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值． 解：(1)圆锥的母线长为62
＋22
＝210(cm)， ∴圆锥的侧面积S1＝π×2×210＝410 π(cm2
)． (2)画出圆锥的轴截面如图所示：
设圆柱的底面半径为r cm，由题意，知r2＝6－x6
，
∴r＝6－x3，∴圆柱的侧面积S2π22π2
2＝2πrx＝3(－x＋6x)＝－3[(x－3)－9]，∴当x＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π cm2
. - 5 -
2019-2020学年高中数学课时跟踪检测五柱体锥体台体的表面积与体积含解析新人教A版必修2
