5、解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即a,b,c?{1,2,...,9} （1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为都相同，所以，
1n1?C9?9n1，由于三位数中三个数码
。
n2（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为
2C92，由于三位数
中只有2个不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有
。但当大数为底时，设a>b，必须满足b?a?2b。此时，
7 3，2 1 6 3，2 1 5 1，2 4 1，2 3 1 2 1 不能构成三角形的数码是 a 9 8 b 4，3 2，1 4，3 2，1 1 共20种情况。
同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有故
n2?C32(2C92?20)?6(C92?10)?156C32种情况。 。
。 综上，
n?n1?n2?165 6、解：
AB?OB,AB?OP,?AB?PB,又OH?PB
?面PAB?面POB,?OH?HC,OH?PA。C是PA中点，?OC?PA
?当HO?HC时S?HOC最大，
也即
VO?HPC?VP?HCO最大。
此时，
1HO?2,故HO=OP,??HPO?300226?OB?OP?tan300?3，
故选D。
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7、解：
f(x)?a2?1sin(ax??),其中??arctan12?a，它的最小正周期为a，振幅
2为a?1。由f(x)的图像与g(x)的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形
2?2?2a?1的长方形，故它的面积是aa割补成长为、宽为a2?1。
8、解：对?x,y?R,有f(xy?1)?f(x)f(y)?f(y)?x?2,
?有f(xy?1)?f(y)f(x)?f(x)?y?2
?f(x)f(y)?f(y)?x?2=f(y)f(x)?f(x)?y?2
即f(x)?y?f(y)?x,令y?0,得f(x)?x?1。
9、解：连结
D1C,作CE?BD1A1BFE?BD1，垂足为E，延长CE交
是二面角
于F，则，连
结AE，由对称性知
AE?BD1,??FEAA?BD1?A1D1的平面角。
C1连结AC，设AB=1，
则AC?AD1?2,BD1?3.
AB?AD12AE??在Rt?ABD1BD13， 中，
A1FEDCAB1
4?2AE?CE?AC2AE?AC13?AEC中,cos?AEC?????42AE?CE2AE223在
22222B??AEC?1200,而?FEA是?AEC的补角，??FEA?600。
22p?p?4nk2?pk?n,n?N*,则k2?pk?n2?0,k?22p?4n210、解：设，从而2*2m,m?N,则(m?2n)(m?2n)?p是平方数，设为
?p2?1m???m?2n?1?2p是质数，且p?3,??,解得?22?m?2n?p?n?p?1??4
p?m2p?(p2?1)(p?1)2?k??,故k?244。（负值舍去）
bn?111,n?0,1,2,...,则(3?)(6?)?18,anbn?1bn
11、解：设
1113bn?1?6bn?1?0.?bn?1?2bn?,bn?1??2(bn?)333 即
1{bn?}3是公比为2的等比数列， 故数列bn?n111111?2n(b0?)?2n(?)??2n?1?bn?(2n?1?1)33a0333。
nn?1n?211i?11?2(2n?1?1)?b?(2?1)??(n?1)???i?2?1??3?2?n?3?a33i?oii?0i?0??。
12、解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为
222(x?a)?(y?3?a)?2(1?a) S（a，3－a），则圆S的方程为：
对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当?MPN取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即
222(1?a)?(a?3),解得 a=1或a=－7。 圆S的方程中的a值必须满足
'P(1,0)和P(?7,0)，而过点M，N，p'的圆的半径大 即对应的切点分别为
于过点M，N，P的圆的半径，所以?MPN??MP'N，故点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标为1。
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。
456?4?2,6?5?2（Ⅰ）因骰子出现的点数最大为6，而，因此，当n?5时，n
次出现的点数之和大于2已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为0。所以最多只能连过4
关。 .......5分
（Ⅱ）设事件
Ann为“第n关过关失败”，则对立事件An为“第n关过关成功”。
n第n关游戏中，基本事件总数为6个。 第1关：事件
A1所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况），
P(A1)?1?P(A1)?1?22?63。
?过此关的概率为：
第2关：事件
A2所含基本事件数为方程x?y?a当a分别取2，3，4时的正整数
111C1?C2?C3?1?2?3?6解组数之和。即有（个）。
?过此关的概率为：
P(A2)?1?P(A2)?1?65?626。
........10分 第3关：事件
A3所含基本事件为方程x?y?z?a当a分别取3，4，5，6，7，8
时的正整数解组数之和。即有
2222C2?C32?C4?C52?C6?C7?1?3?6?10?15?21?56（个）。
?过此关的概率为：
P(A3)?1?P(A3)?1?5620?3627。 ....
.....15分
故连过前三关的概率为：
2520100P(A1)?P(A2)?P(A3)????3627243。 ........20分
（说明：第2，3关的基本事件数也可以列举出来）
44y?(x?1),y??(x?1),y?03314、解：（Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为。
点P(x,y)到AB、AC、BC的距离依次为
11d1?|4x?3y?4|,d2?|4x?3y?4|,d3?|y|55。依设，d1d2?d32,得|16x2?(3y?4)2|?25y2，即
16x2?(3y?4)2?25y2?0,或16x2?(3y?4)2?25y2?0，化简得点P的轨迹方程为
圆S：
2x2?2y2?3y?2?0与双曲线T:8x2?17y2?12y?8?0 .....
.5分
（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分
222x?2y?3y?2?0 ① 圆S：
228x?17y?12y?8?0 ② 与双曲线T：
因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的
轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。
1D(0,)d?d?d23，?ABC的内心D也是适合题设条件的点，由12，且知它在解得
圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，
设L的方程为
y?kx?12 ③
y?
1
2平行于x
（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线
轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分
（ii）当k?0时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：
2004年全国高中数学联赛试题及参考答案
