2004年全国高中数学联赛试题
【第一试】
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
21、设锐角q使关于x的方程x?4xcos??cot??0有重根，则q的弧度数
为
??5??5?或或6612 D。1212A． B。 C。
?12 答：[ ]
2、已知M=?(x,y)|x2?2y2?3，N=?(x,y)|y?mx?b?，若对于所有的m?R，
?均有M?N??,则b的取值范围是
?666623232323,?,?,?,22] B。223333] （）C。（） D。[
A．[
答：[ ]
3、不等式
1log2x?1?log1x3?222>0的解集是
A．[2，3] B。（2，3） C。[2，4] D。（2，
4） 答：[ ]
4、设O点在△ABC内部，且有OA?2OB?3OC?0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为
35A．2 B。2 C。3 D。3 答：
[ ]
5、设三位数n?abc，若以a,b,c为三条边的长可以构成一个
等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有
A．45个 B。81个 C。165个 D。216个 答：[ ]
6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C是PA的中点，则当三棱锥O—HPC的体积最大时，OB的长是
525626A．3 B。3 C。3 D。3 答：[ ]
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7、在平面直角坐标系xoy中，函数f(x)?asinax?cosax(a?0)在一个最小正
2g(x)?a?1的图像所围成的封闭图形的面积是周期长的区间上的图像与函数
_____________。
8、设函数f:R?R,满足f(0)?1，且对任意的x,y?R，都有f(xy?1)=
f(x)f(y)?f(y)?x?2，则f(x)?________________。
9、如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，二面角A?BD1?A1的度数是______________。
2k?pk也 pk 10、设是给定的奇质数，正整数使得
是一个正整数，则k=________________。 11、已知数列
(3?an?1)(6?an)?18a0,a1,a2,...,an...,n满足关系式
且
a0?3，则i?0?a1i的值是______。
12、在平面直角坐标系xoy中，给定两点M（-1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是___________。
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13、一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2，则算过关。问：
n （Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？ （Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？
（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）
4 14、在平面直角坐标系xoy中，给定三点A（0，3），B（-1，0），C
（1，0）。点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中顶。 （Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线L经过△ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。
2 15、已知?、?是方程4x?4tx?1?0（t?R）的两个不等实根，函数
f(x)?
2x?tx2?1的定义域为[?，?]。
（Ⅰ）求g(t)?maxf(x)?minf(x);
ui?(0,)2(i?1,2,3)，若sinu1?sinu2?sinu3?1，则 （Ⅱ）证明：对于
1113???6g(tanu1)g(tanu2)g(tanu3)4。
? 【第二试】
一、（本题满分50分）
在锐角△ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相 交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点， FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求 AK的长。
二、（本题满分50分）
在平面直角坐标系xoy中， y轴正半轴上的点列
?An?与曲线y?2x（x≥0）上的点列的横坐标为
n?N?。
?Bn?满足
OAn?OBn?1ABaBn，直线nn在X轴上的截距为n，点nbn，
（Ⅰ）证明
?anan?1>>4，n?N。
（Ⅱ）证明有
bbb2b3??...?n?n?1b1b2bn?1bn n0?N?，使得对 ?n?n0都有 三、（本题满分50分） 对于整数n≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合 ?m,m?1,...,m?n?1?的任一个f(n)元子集中，均有至少3个两两互素的元素。 参考答案 12 第一试 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 221、解：因方程x?4xcos??cot??0有重根，故??16cos??4cot??0 0????2,?4cot?(2sin2??1)?0 得 sin2???2???6或2??5??5???或6，于是1212。 故选B。 2、解：M22N??相当于点（0，b）在椭圆x?2y?3上或它的内部 2b266??1,???b?322。 故选A。 331??log2x?1?log2x???0222??logx?1?03、解：原不等式等价于?2 ?321?t?t??0log2x?1?t,则有?22??t?0设 解得0?t?1。 即 0?log2x?1?1,?2?x?4。 故选C。 A 4、解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点， OA?OC?2OD(1)(2) 则2(OB?OC)?4OE由（1）（2）得， DOA?2OB?3OC?2(OD?2OE)?0， O即OD与OE共线， |OD|?2|OE|?BEC且 S?AEC3S3?2?,??ABC??3S?AOC2S?AOC2， 故选C。
2004年全国高中数学联赛试题及参考答案
