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专题08 猜想与证明 2021届中考数学压轴大题专项训练（解析版）
1．已知ABC在平面直角坐标系内的位置如图，?ACB?90?，AC?BC?5，OA、OC的长满足关系式?OA?4??OC?3?0． （1）求OA、OC的长； （2）求点B的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使ACP是以AC为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
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（OA?4)?OC?3?0.可知， 【解析】解：⑴由
OA?4?0，OC?3?0，
⑴OA?4，OC?3. ⑴作BD?x轴与点D，
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?OCA??ACB??BCD?180? ??ACO??BCD?90? ?CBD??BCD?90? ??ACO??CBD
AC?BC
?AOC?CDB(AAS)
?BD?OC?3
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CD?OA?4
?OD?OC?CD?3?4?7
?B(7，3)
⑴存在.
，0)； 当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC，则△ACP为等腰三角形，P的坐标为(?30)；CP=AC=5，P的坐标为(?2， 当点P在x轴的负半轴时，使CP=AC，由勾股定理得，则△ACP为等腰三角形，
当点P在x轴的正半轴时，使AC=CP，则△ACP为等腰三角形，CP?AC?5
0) ； ?OP?OC?CP?3?5?8，?P(8，，0)或(?2，0)或(8，0)． 所以存在，点P(?32．在平面坐标系xoy中，已知线段AB，且A、B的坐标分别为A(1,2),B(4,2)，点C为线段AB的中点. （1）线段AB与x轴的位置关系是 （2）求点C的坐标。
（3）在y轴上是否存在点P，使得三角形PAC面积为3.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】解：（1）因为A、B点的纵坐标相同，所以线段AB与x轴平行； （2）
?5?，C是线段AB的中点，⑴C点坐标为：?,2? A（，12），（B4，2）?2?（3）在y轴上存在点P，使得三角形PAC的面积为3.其理由如下： 由（2）知：A(1,2),C??5?,2?， ?2??AC?S?PAC53?1? 221?AC?yP?yA?3 2韩哥智慧之窗-精品文档 2
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即：
13??yP?yA?3 22?yP?2?4
?yP?6 或yP??2 ，
⑴P点坐标为：或时，三角形PAC的面积为3. （0，?2）（0，6）3．探索与证明：
（1）如图⑴，直线m经过正三角形ABC的顶点A，在直线m上取点D，E，使得?ADB?60?，
?AEC?60?．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明；
（2）将（1）中的直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图⑴的位置，?ADB?120?，
?AEC?120?．通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．
【解析】解：（1）DE=BD＋CE，证明如下 ⑴⑴ABC为等边三角形 ⑴AB=CA，⑴BAC=60° ⑴?ADB?60?，?AEC?60? ⑴?ADB??CEA
⑴⑴ABD＋⑴BAD=180°－⑴ADB=120° ⑴CAE＋⑴BAD=180°－⑴BAC=120° ⑴⑴ABD=⑴CAE 在⑴ABD和⑴CAE中
??ADB??CEA???ABD??CAE ?AB?CA?⑴⑴ABD⑴⑴CAE
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猜想与证明-2021届中考数学压轴大题专项训练(解析版)
