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试卷类型：A
2015年市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）
2015.3 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟. 注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式V?2221Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 32 1?2?3?n?n?1??2n?1??n?n?N*?． ?6一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集U??1,2,3,4,5?, 集合M??3,4,5?, N??1,2,5?, 则集合?1,2?可以表示为 A．M
N B．(UM)
N C．M(UN) D．(UM)(UN)2．已知向量a=?3,4?，若?a?5，则实数?的值为
11 B．1 C．? D．?1 553. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，
A．
叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是 A. 91, 91.5 B. 91, 92 C. 91.5, 91.5 D. 91.5, 92
4. 直线x?ay?1?0与圆x??y?1??4的位置关系是
228879174203图1 . . . .
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A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
?x?y?4?0,?5. 若直线y?3x上存在点?x,y?满足约束条件?2x?y?8?0, 则实数m的取值围是
?x?m,?A. ??1,??? B. ??1,??? C. ???,?1? D. ???,?1? 6. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2，
22正视图222侧视图223 其体积为，则该锥体的俯视图可以是
3 图2 22
222 2 22 A. B. C. D. 7. 已知a为实数，则a?1是关于x的绝对值不等式x?x?1?a有解的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知i是虚数单位，C是全体复数构成的集合，若映射f:C?R满足: 对任意
z1,z2?C，以及任意??R , 都有f??z1??1???z2???f?z1???1???f?z2?, 则
称
映射f具有性质P. 给出如下映射:
① f1:C?R , f1?z??x?y, z?x?yi(x,y?R);
2② f2:C?R , f2?z??x?y, z?x?yi(x,y?R);
③ f3:C?R , f3?z??2x?y, z?x?yi(x,y?R);
其中, 具有性质P的映射的序号为
A. ① ② B. ① ③ C. ② ③ D. ① ② ③
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）
9. 已知tan??2，则tan2?的值为 .
10. 已知e为自然对数的底数，若曲线y?xe在点?1,e?处的切线斜率为 .
x . . . .
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11. 已知随机变量X服从正态分布N?2,1?. 若P?1?X?3??0.6826，则P?X?3? 等于 . 12. 已知幂函数f?x??x?m2?2m?3(m?Z)为偶函数，且在区间?0,???上是单调增函数，则
f?2?的值为 .
13．已知n,k?N*，且k?n，kCn?nCn?1，则可推出 Cn?2Cn?3Cn?1123kk?1?kCkn?222301?nCnn?n(Cn?1?Cn?1??1?Ckn?1??1n?1?Cn， n?1)?n?2由此，可推出Cn?2Cn?3Cn??k2Ckn??n2Cnn? . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14. （坐标系与参数方程选做题）
在直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为??x?cos??sin?,(?为参数)和
?y?cos??sin??x?2?t,(t为参数).以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1 ?y?t?与C2的交点的极坐标为 . ．．．15. （几何证明选讲选做题）
如图3，BC是圆O的一条弦，延长BC至点E， 使得BC?2CE?2，过E作圆O的切线，A为
B切点，?BAC的平分线AD交BC于点D，
则DE的长为 .
AODCE
图3
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
???已知函数f(x)?Asin??x???A?0,??0?的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个
6??最低点的坐标分别为?x0,2?和?x0?（1）求函数f(x)的解析式； （2）求sin?x0?
. . . .
????,?2?. 2??????的值. 4? . . . .
17. （本小题满分12分）
袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为
1，7每个球被取到的机会均等. 现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X. （1）求袋子中白球的个数； （2）求X的分布列和数学期望.
18. （本小题满分14分）
如图4，在边长为4的菱形ABCD中，?DAB?60，点E，F分别是边CD，CB的 中点，AC?EF?O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA,PB,PD，得到如图5
的五棱锥P?ABFED，且PB?10. （1）求证：BD?平面POA；
（2）求二面角B?AP?O的正切值. D
E CAO A F B 图4
19. （本小题满分14分）
PDEOB图5Fn?N. 已知数列?an?的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1?1,an?1?2Sn?1，
*（1）求a2的值；
（2）求数列?an?的通项公式；
（3）是否存在正整数k, 使ak, S2k?1, a4k成等比数列? 若存在, 求k的值； 若不存在, 请说明理由.
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20. （本小题满分14分）
x2?y2?1的顶点，直线已知椭圆C1的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线C2:2x?2y?0与椭圆C1交于A，B两点，且点A的坐标为(?2,1)，点P是椭圆C1上
异于点A,B的任意一点，点Q满足AQ?AP?0，BQ?BP?0，且A，B，Q三点不共线.
(1) 求椭圆C1的方程； (2) 求点Q的轨迹方程；
(3) 求?ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标.
21. （本小题满分14分） 已知函数f?x??ln?1?x??a2x?x?a?0?. 2（1）若f?x??0对x??0,???都成立，求a的取值围；
*（2）已知e为自然对数的底数，证明：?n?N，e??1???1??2??n??e. 1????1??2??2?2?n??n??n?
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2015年广州市一测理科试题及参考答案1
