(6) 设A为4阶实对称矩阵，且A2?A?0,若A的秩为3，则A相似于
(8) 设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为??1,3?上的均匀分布的概率密度，若f(x)??应满足
（A）2a?3b?4 （B）3a?2b?4 （C）a?b?1 （D）a?b?2 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) 设可导函数y?y(x)由方程
?1??1??1??1?? （B）?? （A）???1??1?????00?????1???1???1????1? （D）?? （C）????1??1?????00?????0?1?(7) 设随机变量的分布函数F(x)???2?x??1?ex?00?x?1，则x?1?af1(x)x?0则a,b(a?0,b?0)为概率密度，
bf(x)x?0?2?x?y0edt??xsint2dt确定，则
0?t2xdydx?______.
x?0P?X?1??
?1（A）0 （B） （C）?e （D）
(10) 设位于曲线y?1x(1?lnx)2(e?x???)下方，x轴上方的无
1212界区域为G,则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积是______.
3(11) 设某商品的收益函数为R(p)，收益弹性为1?p，其中p为价
1?e?1
格，且R(1)?1，则R(p)?______.
(12) 若曲线y?x3?ax2?bx?1有拐点(?1,0),则b?______.
?1(13) 设A，B为3阶矩阵，且A?3，B?2，A?B?2，则
求函数u?xy?2yz在约束条件x2?y2?z2?10下的最大值和最小值
(18) (本题满分10分) （Ⅰ）比较
A?B?1?______.
(14) 设x1，x2，xn为来自整体N(?,?2)(??0)的简单随机样本，
?10lnt?ln(1?t)?dt与?tnlntdt(n?1,2,?)的大小，说
01n1明理由
（Ⅱ）设un?1n2记统计量T??Xi，则ET?______.
ni?1三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分) 求极限lim(x?1)x???1x1lnx?0lnt?ln(1?t)?dt(n?1,2,?)，求极限limun
n??n(19) (本题满分10分)
设函数f(x)在?0,3?上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且
2f(0)??f(x)dx?f(2)+f(3)，
02
（Ⅰ）证明：存在??(0,2)，使f(?)?f(0) （Ⅱ）证明：存在??(0,3)，使f(?)?0 (20) (本题满分11分)
\(16) (本题满分10分) 计算二重积分
23Dx?1?y，其中由曲线与直线(x?y)dxdy??Dx?2y?0及x?2y?0围成。
(17) (本题满分10分)
11????a?????设A?0??10，b?1 ??????1???1??1??
已知线性方程组Ax?b存在2个不同的解 （Ⅰ）求?，a
（Ⅱ）求方程组Ax?b的通解 (21) (本题满分11分)
2?0?14???设A??13a，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的????4a0??第1列为1(1,2,1)T,求a，Q 6(22) (本题满分11分)
设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)?Ae?2x?2xy?y2，
???x???,???y???,求常数A及条件概率密度fYX(yx)
(23) (本题满分11分)
箱内有6个球，其中红，白，黑球的个数分别为1，2，3，现在从箱中随机的取出2个球，设X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数，
（Ⅰ）求随机变量(X，Y)的概率分布 （Ⅱ）求Cov(X，Y)
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的
四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
f(x) 1 O -1 xx?x3（1）函数f(x)?的可去间断点的个数为
sin?x(A)1. (B)2. 个.
（2）当x?0时，f(x)?x?sinax与g(x)?x2ln(1?bx)是等价无穷小，则
(C)3.
(D)无穷多
-2 1 2 3 x
则函数F?x???f?t?dt的图形为
0f(x) 1 O -1 11. （B）a?1，b?. 6611(C)a??1，b??. （D）a??1，b?.
66xsintdt?lnx成立的x的范围是 （3）使不等式?1t(A)a?1，b??(A)(0,1). (D)(?,??).
（4）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为
(B)(1,-2 (A)
1 2 3 x
?). (C)(,?). 22?
f(x) 1 O 1 -1 2 3 f(x)1 -2 (B)
x
(D)
-2 -1 O 1 2 3 x
f(x)1 O 1 2 3 （5）设A,B均为2阶矩阵，A?,B*分别为A,B的伴随矩阵，若
?OA?|A|?2,|B|?3，则分块矩阵??的伴随矩阵为
?BO?-1 (C)
x
?O3B*?(A)?*?.
O??2A?O3A*?(C)?*?.
O??2B?O (B)?*?3A
2B*??. O?2A*??. O??O (D)?*?3BT（6）设A,P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且
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