第九章 平面解析几何
第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
基础知识整合
1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角
①定义：x轴01正向与直线02向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为030°. ②倾斜角的范围为040°≤α<180°. (2)直线的斜率
条件 直线的倾斜角为θ，且θ≠90° 直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2 2．直线方程的几种形式 名称 点斜式 斜截式 条件 斜率k与点(x1，y1) 斜率k与直线在y轴上的截距b 两点(x1，y1)，(x2，y2) 直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b — 方程 07y－y1＝k(x－x1) 08y＝kx＋b 适用范围 不含直线x＝x1 不含垂直于x轴的直线 不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面直角坐标系内的直线都适用 公式 k＝05tanθ k＝06y2－y1 x2－x1两点式 y－y1x－x109＝ y2－y1x2－x110＋＝1 11Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) 截距式 xyab一般式
1．直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系．
θ k 牢记口诀： 0° 0 0°<θ<90° 90° 不存在 90°<θ<180° k>0 k<0 “斜率变化分两段，90°是分界线；
- 1 -
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
1．已知直线过A(2,4)，B(1，m)两点，且倾斜角为45°，则m＝( ) A．3 C．5 答案 A
B．－3 D．－1
m－4
解析 ∵直线过A(2,4)，B(1，m)两点，∴直线的斜率为＝4－m.又直线的倾斜角为
1－2
45°，∴直线的斜率为1，即4－m＝1，∴m＝3.故选A．
2．直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是( ) πA．
62πC． 3答案 D
解析 由直线的方程得直线的斜率k＝－＝5π. 6
3．(2019·青海模拟)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( ) A．x－y＋1＝0 C．x＋y－1＝0 答案 D
解析 直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0. 4．(2019·四川绵阳联考)过点(5,2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是( )
A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0
D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0 答案 B
解析 设所求直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a，①当a＝0时，所求直
B．x－y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
33
，设倾斜角为α，则tanα＝－，所以α33πB．
35πD． 6
- 2 -
2
线经过点(5,2)和(0,0)，所以直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；②当a≠0时，设所求直线
5
xy52xy方程为＋＝1，又直线过点(5,2)，所以＋＝1，解得a＝6，所以所求直线方程为＋＝
a2aa2a612
1，即2x＋y－12＝0.综上，所求直线方程为2x－5y＝0或2x＋y－12＝0.故选B．
5．(2020·广东深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：
bx＋y＋a＝0的图象有可能是( )
答案 B
解析 当a>0，b>0时，－a<0，－b<0，B项符合．
6．直线l与直线y＝1，直线x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率是( )
2A． 32C．－
3答案 C
解析 设P(a,1)，Q(b，b－7)，由线段PQ的中点坐标为(1，－1)可得
3B． 23D．－
2
a＋b??2＝1，?1＋b－7??2＝－1，
＝
解得?
?a＝－2，???b＝4，
所以P(－2，1)，Q(4，－3)，所以直线l的斜率k1－－32
＝－，故选C．
－2－43
核心考向突破
考向一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1)(2019·重庆巴蜀中学诊断)直线x＋(a＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是
2
( )
?π?A．?0，?
4??
?π??π?C．?0，?∪?，π? 4??2??
答案 B
B．?
?3π，π?
?
?4?
?ππ??3π?D．?，?∪?，π? ?42??4?
- 3 -
解析 依题意，直线的斜率k＝－
1
∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是a2＋1
?3π，π?. ?4???
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 1－0
解析 如图，∵kAP＝＝1，
2－1
kBP＝
3－0
＝－3， 0－1
∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾
?π??π?斜角的范围时，要分?0，?与?，π?两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈
2??2???0，π?时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝π时，斜率不存在；当α∈?π，π?时，斜率k∈(－
???2?2?2???
∞，0)．
??ππ??[即时训练] 1.(2019·南昌模拟)直线2xcosα－y－3＝0?α∈?，??的倾斜角的变
??63??
化范围是( )
?ππ?A．?，?
?63??ππ?C．?，? ?42?
答案 B
?ππ?B．?，? ?43??π2π?D．?，?
3??4
1?ππ?解析 直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈?，?，所以
2?63?≤cosα≤
3
，因此k＝2cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．由2
- 4 -
?ππ??ππ?于θ∈[0，π)，所以θ∈?，?，即倾斜角的变化范围是?，?. ?43??43?
2．(2019·安徽五校联考)已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，则k的取值范围是( )
?3?A．?，2?
?4?
C．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 B
3??B．?－∞，?∪[2，＋∞) 4??D．[1,2]
3?3?解析 直线kx－y＋1－k＝0恒过P(1,1)，kPA＝2，kPB＝，故k的取值范围是?－∞，?∪
4?4?[2，＋∞)．故选B．
考向二 求直线的方程
例2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为
10
； 10
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)与直线3x－4y－5＝0关于y轴对称．
解 (1)由题设知该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝(0<α<π)，
3101
从而cosα＝±，则k＝tanα＝±，
1031
故所求直线方程为y＝±(x＋4)，
3即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)由题设知截距不为0，设直线方程为＋4
＝1，解得a＝－4或a＝9. 12－a故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
5?5???(3)直线3x－4y－5＝0与y轴的交点为A?0，－?，所求直线过A?0，－?，且斜率k＝4?4???335
－，所求直线方程为y＝－x－，即3x＋4y＋5＝0. 444
1．直线方程的求法
10
10
xy－3
＝1，又直线过点(－3,4)，从而＋
a12－aa - 5 -
北师大版2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率直线的方程学案含解析
