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第04讲 分式
1．分式的基本概念
A
(1)形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
B
AAA
(2)当B≠0时，分式有意义；当B＝0时，分式无意义；当A＝0 时，分式的值为零.
BBB2．分式的性质
AA×MAA÷M
(1)分式的分子与分母都乘(或除以)一个不为零的整式，分式的值不变，即＝，＝；(M是不等于
BB×MBB÷M零的整式)
A－AA－A
(2)分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．即＝－＝－＝. BB－B－B3．最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式． 4．分式的运算
(1)通分：把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． (2)确定最简公分母：
确定方法：①取各分式的分母中系数的最小公倍数；②各分式的分母中所有字母或因式都要取到；③相同字母(或因式)的幂取指数最大的；④所得的系数的最小公倍数与各分母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．
(3)约分：把分式中分子与分母的___公因式____约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质． (4)分式的运算法则： ①加减法：
aba±b
同分母加减法：±＝__；
cccbdbc±ab
异分母加减法：±＝. acac②乘除法：
acacacad
·＝； ÷＝___． bdbdbdbcana③乘方：()＝n.
bb
n
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考点1： 分式的化简
【例题1】下列变形错误的是（ ）
?4x3y22(x?y)312x3(a?b)24x3(a?b)3x2y(a?1)2xA. B. C. D. ????1???2x3y6y427(a?b)93y(y?x)39xy2(1?a)2【答案】D
【解析】：A选项分子和分母同时除以最大公因式2x3y2；B选项的分子和分母互为相反数；C选项分子和分
3x2y(a?1)2x母同时除以最大公因式3?a?b?，D选项正确的变形是所以答案是D选项 ?9xy2(1?a)23y考点2： 分式的化简
4x2?4x?4【例题2】（2024包头）化简；÷（﹣1）= ．
x?2x2?2x【答案】﹣
x?2． x4x?2(x?2)2【解析】：原式=÷（﹣）
x?2x?2x(x?2)2?x(x?2)2=÷ x(x?2)x?2(x?2)2x?2=? x(x?2)?(x?2)=﹣
x?2， xx?2． x故答案为：﹣
考点3：分式的加减乘除运算
9－3a52
【例题3】先化简，再求值：÷(a＋2－)，其中a满足a－a－6＝0.
2a－4a－23（3－a）a－9
【解答】解：原式＝÷ 2（a－2）a－2＝
3（3－a）a－2
·
2（a－2）（a＋3）（a－3）
2
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＝
－3
.
2（a＋3）
2
∵a－a－6＝0，且a≠2，±3，∴a＝3(舍去)或a＝－2. 3
∴当a＝－2时，原式＝－.
2
归纳：1.分式化简时，应注意：当自主确定代数式中字母的取值时，一定要注意所选取的值不能使原分式中的分母为0；另外对于所给值是代数式时，可考虑整体代入思想计算以达到简便计算的目的． 2．分式化简求值的一般步骤：
第一步：若有括号的，先计算括号内的运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉，简称：去括号；
第二步：若有除法运算的，将分式中除号(÷)后面的式子分子、分母颠倒，并把这个式子前的“÷”变为“×”，保证几个分式之间除了“＋、－”就只有“×或·”，简称：除法变乘法； 第三步：计算分式乘法运算，利用因式分解、约分来计算乘法运算，简称：先算乘法；
第四步：最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算，直到化为最简形式，简称：再算加减； 第五步：将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义，简称：代入求值．
一、选择题：
1. （2024?金华）若分式A．3
的值为0，则x的值为（ ）
B．﹣3 C．3或﹣3 D．0
【答案】A
【解答】由分式的值为零的条件得x﹣3=0，且x+3≠0， 解得x=3． 故选：A．
2. （2024?台州）计算A．1
B．x
C．
D．
，结果正确的是（ ）
【答案】A 【解答】原式==1，故选：A．
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3. （2024?江苏扬州?3分）分式
1可变形为( D ) 3-xA.
1111 B.- C. D.-
3?x3?xx?3x?3【答案】：故选B.
【解析】：分式的分母整体提取负号，则每一个都要变号 4.（2024?河北省?2分）如图，若x为正整数，则表示
﹣
的值的点落在（ ）
A．段① 【答案】B 【解析】∵
﹣
＝
﹣
＝1﹣
＝
B．段②
C．段③
D．段④
又∵x为正整数， ∴≤x＜1
故表示﹣的值的点落在②
5. （2024?四川省达州市?3分）a是不为1的有理数，我们把﹣1，﹣1的差倒数
称为a的差倒数，如2的差倒数为＝
＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依
此类推，a2024的值是（ ） A．5 【答案】D
【解答】解：∵a1＝5， a2＝a3＝
＝＝
＝﹣，
＝， B．﹣
C．
D．
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a4＝＝＝5，
…
∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环， ∵2024÷3＝673， ∴a2024＝a3＝， 故选：D． 二、填空题：
6. （2024?江苏泰州?3分）若分式【答案】 x≠
1有意义，则x的取值范围是 ． 2x?11 2【解答】解：根据题意得，2x﹣1≠0， 解得x≠
1． 21． 2﹣
的结果是 ．
故答案为：x≠
7. （2024?襄阳）计算
【答案】
=
，故答案为：
． +
结果是
．
【解答】原式==
8. （2024·四川自贡·4分）化简
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式==
+
故答案为：
9. 先阅读下面一段文字，然后解答问题：
2024年中考数学考点总动员第04讲分式含解析
