几类不同增长的函数模型
【学习目标】
1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． 2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．
3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．
【要点梳理】
要点一：几类函数模型的增长差异
一般地，对于指数函数y?a(a?1)和幂函数y?x(??0)，通过探索可以发现，在区间
x?x?无论?比a大多少，尽管在x的一定范围内，a会小于x，但由于a的增长快于x的增长，?0,???上，
x?因此总存在一个x0，当x?x0时，就会有a?x．同样地，对于对数函数y?logax增长得越来越慢，
x??图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于x，但由于logax的增??长慢于x的增长，因此总存在一个x0，当x?x0时，就会有logax?x．
综上所述，在区间?0,???上，尽管函数y?a(a?1)、y?x(??0)和y?logax(a?1)都是增函
x?数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y?a(a?1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y?x(??0)的增长速度，而y?logax(a?1)的增长则会越来越慢，因此总会存
?x在一个x0，当x?x0时，就有logax?x?a.
x?三类函数模型增长规律的定性描述：
1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）； 2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）； 3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）． 如图所示：
要点诠释：
当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．
要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型
若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．
常用的函数模型有以下几类：
（1）线性增长模型：y?kx?b(k?0)；（2）线性减少模型：y?kx?b(k?0)．
（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数
y?ax2?bx?c(a?0)；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数
y?ax2?bx?c(a?0)．
（3）指数函数模型
f(x)?abx?c（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1），当b?1时，为快速增长模型；当0?b?1时，
为平缓减少模型．
（4）对数函数模型
f(x)?mlogax?n（m、n、a为常数，a＞0，a≠1）；当a?1时，为平缓增长模型；当0?a?1时，
为快速减少模型．
（5）反比例函数模型
y?k当k?0时，函数在区间???,0?和?0,???上都是减函数；当k?0时，函数在???,0?(k?0)．
x和?0,???上都是增函数．
（6）分段函数模型
当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．
【典型例题】
类型一、研究函数的变化规律并比较其大小
?1?例1. 当x＞0时，比较log1x，x，??的大小．
?2?2
举一反三：
12x?1?【变式1】 比较??、x3、log1x(x?1)的大小．
?3?3
x1
类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型
例2．某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米，栽种n年后的高度记为f(n)．经研究发现，f(n)近似地满
2?9A足f(n)?，其中t?23，a，b为常数，n∈N，f(0)＝A.已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高na?bt度的3倍．问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．
举一反三： 【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线x = （t0≤t≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为（ft），则函数y = （ft）的图象大致是（ ）
A
O x =t B
【变式2】据调查，某贫困地区约有100万人从事传统农业的农民，人均年收入仅有3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x（x＞0）万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均年收入为3000a元（a＞0）．
（1）建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大．
例3．某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接收订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？
举一反三：
【变式1】某山区加强环境保护后，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么经过x年绿色植被的面积为y，则函数y = f(x) 的图象大致为（ ）．
【变式2】“水”这个曾经人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨二不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x（x≤7）吨，试计算本季度他应交的水费y（单位：元）．
例4．某人年初向银行贷款10万元用于购房，
（1）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？
（2）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的计算计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？（其中：1.0410=1.4802）
举一反三：
【变式1】甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄．年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为________元．
【变式2】某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为（n+1）元时，比礼品价值为n元（n∈N*）时的销售量增加10%．
（1）写出礼品价值为n元时，利润yn（元）与n（元）的函数关系式； （2）请你设计礼品的价值，以使商品获得最大利润．
例5．如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只．．．．
1；（2）其它面的淋雨量之和，其1013值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．
22有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v?c×S成正比，比例系数为
（Ⅰ）写出y的表达式；
（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．
【巩固练习】
1．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是（ ） A．y=50 B．y=1000x C．y=0.4·2x1 D．y?－
1xe 10002．y1=2x，y2=x2，y3=log2x，当2＜x＜4时，有（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
3．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y=3000+20x－0.1x2（0＜x＜240，x∈N），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ）
A．100台 B．120台 C．150台 D．180台
4．如右图所示，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A运动，设P点运动的路程为x，△ABP的面积为S，而函数S=f (x)的图象是下图中的（ ）
第14讲 几类不同增长的函数模型(提高)
