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人教版高中数学选修2-2
知识点梳理
重点题型（常考知识点）巩固练习
定积分的简单应用
【学习目标】
1.会用定积分求平面图形的面积。 2.会用定积分求变速直线运动的路程 3.会用定积分求变力作功问题。
【要点梳理】
要点一、应用定积分求曲边梯形的面积
1. 如图，由三条直线x?a，x?b(a?b)，x轴（即直线y?g(x)?0）及一条曲线y?f(x)(f(x)?0)围成的曲边梯形的面积：
S??f(x)dx??[f(x)?g(x)]dx
aabb2.如图，由三条直线x?a，x?b(a?b)，x轴（即直线y?g(x)?0）及一条曲线
y?f(x)(f(x)?0)围成的曲边梯形的面积：
S??baf(x)dx???f(x)dx??[g(x)?f(x)]dx
aabb3．由三条直线x?a,x?b(a?c?b),x轴及一条曲线y?f(x)（不妨设在区间[a,c]上
f(x)?0，在区间[c,b]上f(x)?0）围成的图形的面积：
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S??caf(x)dx??bcf(x)dx＝??f(x)dx＋?f(x)dx.
accb4. 如图，由曲线y1?f1(x)y2?f2(x)f1(x)?f2(x)及直线x?a，x?b(a?b)围成图形的面积：
S??[f1(x)?f2(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx
aaabbb要点诠释：
研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x轴上方时，容易转化为定积分求其面积；
② 当平面图形的一部分在x轴下方时，其在x轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）；
要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤
（1）画出图形；
（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式；
（5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。
要点三、定积分在物理中的应用
① 变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数v?v(t)(v(t)?0)在时间区间
[a,b]上的定积分，即S??v(t)dt.
ab②变力作功
物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x?a移动
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到x?b(a?b)，那么变力F(x)所作的功W??baF(x)dx.
要点诠释：
1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情
况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。 2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。 【典型例题】
类型一、求平面图形的面积 【定积分的简单应用 385155 例1】
2例1．计算由两条抛物线y?x和y?x所围成的图形的面积.
2【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 【解析】 ???y?x??y?x2、（1，1）， ?x?0及x?1，所以两曲线的交点为（0，0）
1面积S=??所以S?0xdx??x2dx，
01?21?211xdx??x2dx??x?x3????
03?0333?33211?10【总结升华】1. 两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的
面积的差得到。
2. 在直角坐标系下求平面图形的面积的四个步骤： ⑴．作图象；
⑵．求交点，定积分上、下限； ⑶．用定积分表示所求的面积； ⑷．微积分基本定理求定积分。 举一反三：
22【变式1】（2015 德州二模改编）如图阴影部分是由曲线y?x和圆x?y?2及x轴围
2成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ） A.
?11?1?? B. ? C. D. 466464222【答案】如下图，因为曲线y?x和圆x?y?2在第一象限的交点为（1,1）
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所以阴影部分的面积为
?4??(x?x2)dx?01?11?1?(x2?x3)|1??。 042346
【变式2】求曲线y?log2x与曲线y?log2(4?x)以及x轴所围成的图形面积。 【答案】所求图形的面积为
S＝【g(y)?f(y)dy?0?1?10(4?2?2y)dy
?（4y?2?2ylog2e)|10?4?2log2e
例2．求抛物线y?x与直线x?2y?3?0所围成的图形的面积. 【思路点拨】画出简图，结合图形确定积分区间。
【解析】
2?y2?x,?x?1?x?9解法一：解方程组?得?或?
y??1y?3x?2y?3?0,???即交点A(1,?1),B(9,3).
由于阴影的面积不易直接由某个函数的定积分来求得，我们把它合理的划分一下，便于进行积分计算。
过A点作虚线，把阴影部分分成了两部分，分别求出两部分的面积，再求和.
S?S1?S2? ＝291[x?(?x)]dx?[x?(x?3)]dx ?0?1291939xdx??xdx??xdx??dx
121211?1032?43?????932x199 ＝?x2?0??x2?1???1??x1
2?4??3??3?资料来源于网络 仅供免费交流使用
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＝
32. 3 【总结升华】 从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与两个曲线三角形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出直线与曲线的交点的横坐标。
解法二：
若选y为积分变量，则上限、下限分别为－1和3，所以要求的面积为：
S??[(2y?3)?y2]dy
?13 ＝y23?1?3y3?1y2?33?1?32. 3【总结升华】需要指出的是，积分变量不一定是x，有时根据平面图形的特点，也可选y作为积分变量，以简化计算。但要注意积分上限、下限的确定. 举一反三：
【定积分的简单应用 385155 例2】 【变式1】计算由直线y?x?4，曲线y? 【答案】的草图，
解方
作出直线y?x?4，曲线y?2x以及x轴所围图形的面积S.
2x所求面积为上图阴影部分的面积． 程组???y?2x,
??y?x?4得直线y?x?4与曲线y?2x的交点的坐标为（8,4) .
直线y?x?4与x轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S1+S2
??402xdx?[?842xdx??(x?4)dx]
482232231402824?x|0?x2|8(x?4)|?. 443323【变式2】求抛物线y?2x与直线y?4?x围成的平面图形的面积. 【答案】
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