2 0 1 9 年 考 研 数 学 一 真 题
一、选择题， 1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的 .
1. 当 x 0 时，若 x tan x与 xk 是同阶无穷小，则 k A.1. C.3.
2. 设函数 f ( x)
B.2. D.4.
x x ,
x
0, 0,
则 x 0 是 f (x) 的
xln x, x
A. 可导点，极值点 . C.可导点，非极值点 .
B. 不可导点，极值点 . D.不可导点，非极值点 .
3. 设 un 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是
A.
n 1
un
.
B.
n
( 1)n 1 .
u n n 1
un2 1 un2 .
n 1
C.
n 1
1 un .
D.
u
n 1
4. 设函数 Q( x, y)
x ，如果对上半平面（ y 0 ）内的任意有向光滑封闭曲线
y2
C 都有
P( x, y) dx Q( x, y)dy 0 ，那么函数 P( x, y) 可取为
C
A. y
x2
3
.
B.
1 y
x2 y 1 . y
3
.
y
C.
1
1 . x y
D. x
5.设 A是3阶实对称矩阵，E是 3阶单位矩阵 .若 A2
的规范形为
A 2E，且 A
4 ，则二次型 xT Ax
A. y12 y22 y32 . C. y12 y22 y32 .
B. y12 y22 y32 . D. y12 y22 y32 .
6. 如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 A. r ( A) 2, r ( A) B. r ( A) 2, r ( A) C. r (A) 1, r ( A)
3. 2. 2.
A,A，则
D. r ( A) 1, r ( A) 1.
7.设 A,B 为随机事件，则 P( A) A. P(A B) P( A) B. P( AB) C. P( AB) D. P( AB)
P( B).
P( B) 的充分必要条件是
P( A) P(B). P(B A). P( AB).
8. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从正态分布 N ( , A. 与 无关，而与 B. 与 有关，而与 C.与 , D.与 ,
2
)，则P X Y 1
2
有关. 无关.
2
2
都有关 . 都无关 .
2
二、填空题： 9~14小题，每小题 4 分，共 24 分. 9. 设函数 f (u) 可导， z
f (sin y sin x) xy, 则
1
cosx
z x
= . 1
cosy y
z
10.
微分方程 2 yy' y2 2 0 满足条件 y(0)
( 1) n n （0，
幂级数 n 0 (2n)! x 在
1 的特解 y. S(x)
11.
)
内的和函数
.
12.
设 为曲面 x2
y
2
4z2
4( z 0) 的上侧，则
z
4 x2 4z2 dxdy = .
（ ， ， ）
2
，1
13. 设 1
方程组 x 0 的通解为.
14.
3 为 3 阶矩阵.若
2 线性无关，且 3
1 2 2，则线性
设随机变量 X 的概率密度为
f (x)
x ,0 x 2
X
2 F （）为 0 ，其他，
x
的分布函数，
X
为 X 的数学期望，则 P F（X）
X 1 .
.
三、解答题： 15~23 小题，共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. （本题满分 10 分）
设函数 y( x) 是微分方程 y' （1）求 y( x) ； （2）求曲线 y
x
2
xy e 2 满足条件 y(0)
0的特解.
y(x) 的凹凸区间及拐点 .
16. （本题满分 10 分） 设 a,b 为实数，函数 z
2 ax2 by2 在点（3，4）处的方向导数中，沿方向 l
3i 4 j 的
方向导数最大，最大值为 10.
（1）求 a,b ；
（2）求曲面 z
2 ax2 by2 （ z 0 ）的面积 .
e x sin x(x 0) 与 x 轴之间图形的面积 .
17. 求曲线 y
18. 设 an
2xn 1 x dx n （ ， ， ） 0 ，=01 2
1
（1）证明数列 an 单调减少，且 an （2）求 lim
n
an
n an 2 （n=2， 3 ）
n 2
1
a
n 1
.
19. 设
标.
是锥面 x
2
y 2
2
(1 z)2 (0 z 1) 与平面 z
0 围成的锥体，求 的形心坐
1 (1,2,1)T
, 2 (1,3,2)T ,
3 (1,a,3)T
3
(1,1,1)T
20. 设向量组
，为 R 的一个基， 在这个基
T
下的坐标为 (b,c,1) .
（1）求
a,b, c
.
考研数学一真题及答案解析参考
