?y2?2(x?1)3?3 解 由?得两曲线的交点的坐标为(2, 6)? (2, ?6)?
x33?y2?3?所求弧长为s?2?1?y?2dx?
12 因为
442(x?1)(x?1)(x?1)3(x?1)? 2?? 2yy??2(x?1)? y??? y??2(x?1)32y2y32所以 s?2?23232851?(x?1)dx?3x?1d(3x?1)?[()2?1]? ?2923211 24? 计算抛物线y2?2px 从顶点到这曲线上的一点M(x? y)的弧长? 解 s??1?x?(y)dy??20yyyy211?()dy??p2?y2dy
pp00yy22p21 ?[p?y?ln(y?p2?y2)]0
p22ypy?p2?y222 ?? p?y?ln2p2p 25? 计算星形线x?acos3t? y?asin3t的全长? 解 用参数方程的弧长公式? s?4?2x?2(t)?y?2(t)dt
0?16 / 31
?4?2[3acos2t?(?sint)]2?[3asin2t?cost]2dt
0? ?12?2sintcostdt?6a?
0? 26? 将绕在圆(半径为a)上的细线放开拉直? 使细线与圆周始终相切? 细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线? 它的方程为 x?a(cost?tsint)? y?a(sint?tcost)? 计算这曲线上相应于t从0变到?的一段弧的长度?
解 由参数方程弧长公式 s???0[x?(t)]?[y?(t)]dt??22?0(atcost)2?(atsint)2dt
?a?tdt?a?2?
02? 27? 在摆线x?a(t?sin t)? y?a(1?cos t)上求分摆线第一拱成1? 3的点的坐标?
解 设t从0变化到t0时摆线第一拱上对应的弧长为s(t0)? 则 s(t0)??t0t00[x?(t)]?[y?(t)]dt??22t00[a(1?cost)]2?[asint]2dt
t ?2a?sintdt?4a(1?cos0)?
022 当t0?2?时? 得第一拱弧长s(2?)?8a? 为求分摆线第一拱为1? 3的
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点为A(x? y)? 令
t0 4a(1?cos)?2a?
2解得t0?2?? 因而分点的坐标为?
3 横坐标x?a(2??sin2?)?(2??3)a?
3332 纵坐标y?a(1?cos2?)?3a?
32故所求分点的坐标为((2??3)a, 3a)?
322 28? 求对数螺线??ea?相应于自??0到???的一段弧长??? 解 用极坐标的弧长公式? s?? ???0?(?)???(?)d???(ea?)2?(aea?)2d?
22021?a1?aed??(ea??1)? a2a???0 29? 求曲线???1相应于自??3至??4的一段弧长?
43 解 按极坐标公式可得所求的弧长 s??4334?(?)???(?)d???224334(1)2?(?12)2d?
??18 / 31
??121??2d??5?ln3?
?122 30? 求心形线??a(1?cos ???的全长??? 解 用极坐标的弧长公式? s?2??43340?(?)???(?)d??2?a2(1?cos?)2?(?asin?)2d?
220? ?4a?cos?d??8a?
02?习题6?3
1? 由实验知道? 弹簧在拉伸过程中? 需要的力F(单位? N)与伸长量s(单位? cm)成正比? 即F?ks (k为比例常数)? 如果把弹簧由原长拉伸6cm? 计算所作的功?
解 将弹簧一端固定于A? 另一端在自由长度时的点O为坐标原点? 建立坐标系? 功元素为dW?ksds? 所求功为 W??ksds?1ks20?18k(牛?厘米)? 0266 2? 直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽? 设温度保持不变? 要使蒸汽体积缩小一半? 问需要作多少功？ 解 由玻?马定律知?
PV?k?10?(?102?80)?80000??
设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变? 高度减小x厘米时压强
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为P(x)牛/厘米2? 则
P(x)?[(?102)(80?x)]?80000?? P(x)?800?
80?? 功元素为dW?(??102)P(x)dx? 所求功为 W??40408001dx?800?ln2(J)? (??10)?dx?80000??080??80??20 3? (1)证明? 把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是
W?mgRh? R?h其中g是地面上的重力加速度? R是地球的半径?
(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg? 在高于地面630km处进入轨道? 问把这颗卫星从地面送到630的高空处? 克服地球引力要作多少功？已知g?9?8m/s2? 地球半径R?6370km?
证明 (1)取地球中心为坐标原点? 把质量为m的物体升高的功元素为
kMm dW?2dy?
y所求的功为
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高等数学课后习题答案第六章
