习题6?2?
1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积?
(1)
解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为
12311 A??0(x?x)dx?[x2?x2]10?. 326 (2)
解法一 画斜线部分在x轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 A??0(e?ex)dx?(ex?ex)|10?1?
解法二 画斜线部分在y轴上的投影区间为[1? e]? 所求的面积为
e?dy?e?(e?1)?1? A??1lnydy?ylny|1?1ee11 / 31
(3)
解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 32 A???3[(3?x2)?2x]dx??
31 (4)
解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 132 A???1(2x?3?x2)dx?(x2?3x?x3)|3? ?1?333 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积?
2 / 31
1 (1) y?x2与x2?y2?8(两部分都要计算)?
2 解?
222218 A1?2?0(8?x2?x2)dx?2?08?x2dx??0x2dx?2?08?x2dx?
23 ?16?4cos2tdt?8?2??4?
0334 A2?(22)2??S1?6???
3?1 (2)y?与直线y?x及x?2?
x 解? 所求的面积为
A??(x?1)dx?3?ln2?
1x223 / 31
(3) y?ex? y?e?x与直线x?1?
解?
所求的面积为
11 A??0(ex?e?x)dx?e??2?
e (4)y=ln x, y轴与直线y=ln a, y=ln b (b>a>0).
解
所求的面积为
A??lnaeydy?eylna?b?a
3? 求抛物线y??x2?4x?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解?
lnblnb4 / 31
y???2 x?4?
过点(0, ?3)处的切线的斜率为4? 切线方程为y?4(x?3)? 过点(3, 0)处的切线的斜率为?2? 切线方程为y??2x?6? 3 两切线的交点为(, 3)? 所求的面积为
2 A??332[4x?3?(?x2?4x?3)]?[?2x?6?(?x2?4x?3]dx?93042??
p 4? 求抛物线y2=2px及其在点(,p)处的法线所围成的图形的面积?
2 解 2y?y??2p ?
pp 在点(,p)处? y??(p,p)?1? 法线的斜率k??1?
2y2p3p法线的方程为y?p??(x?)? 即x??y?
22p9求得法线与抛物线的两个交点为(,p)和(p,?3p)?
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高等数学课后习题答案第六章
