一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．由图看出，用水量在m吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m吨，需要加收．
2．已知关于x的一元二次方程x??m?2?x?m?0（m为常数）
2（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是2，求m的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析；
(2) 即m的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】 【分析】
（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2?4×1?m=m2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=和m的方程组即可. 【详解】 (1)证明：
△=(m+2)2?4×1?m=m2+4， ∵无论m为何值时m2≥0， ∴m2+4≥4＞0， 即△＞0，
所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)设方程的另一个根为t，
m?2 ,2t=m,最终解出关于t1x2??m?2?x?m?0
根据题意得2+t=解得t=0， 所以m=0，
即m的值为0，方程的另一个根为0. 【点睛】
本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t，用根于系数关系列出方程组，在求解.
m?2
,2t=m， 1
3．已知两条线段长分别是一元二次方程x2?8x?12?0的两根， （1）解方程求两条线段的长。
（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。
（3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。 8【答案】（1）2和6；（2）22；（3）
3【解析】 【分析】
（1）求解该一元二次方程即可;
（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；
（3）设分为两段分别是x和6?x，然后用勾股定理求出x，最后求面积即可. 【详解】
解：（1）由题意得?x?2??x?6??0， 即：x?2或x?6， ∴两条线段长为2和6；
（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3， 由勾股定理得：该等腰三角形底边上的高为：32?12=22 ∴此等腰三角形面积为
1?2?22=22． 2（3）设分为x及6?x两段
x2?22??6?x?
∴x?28， 32x8?， 23∴S??8∴面积为.
3【点睛】
本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键.
4．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱． （1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？ （3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元? 【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元 【解析】 【分析】
（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,
（2）解一元二次方程即可求解,
（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解. 【详解】
解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,
设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60), (2)依题意得：
（x-40）(-10x+780)=3570, 解得：x=57,
∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元. （3）设每星期的利润为w，
W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610, ∵-10?0,二次函数向下,函数有最大值, 当x=59时, 利润最大，为3610元. 【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.
5．已知关于x的方程mx2+(3﹣m)x﹣3=0(m为实数，m≠0)． (1) 试说明：此方程总有两个实数根．
(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值. 【答案】(1)b2?4ac??m?3?≥0；(2)m=-1,-3. 【解析】
分析: （1）先计算判别式得到△=（m-3）2-4m?（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）利用公式法可求出x1=详解: （1）证明：∵m≠0，
∴方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程， ∴△=（m-3）2-4m×（-3） =（m+3）2，
∵（m+3）2≥0，即△≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵x=∴x1=-23，x2=-1，然后利用整除性即可得到m的值． m??3?m???m?3?2m ，
3，x2=1， m∵m为正整数，且方程的两个根均为整数， ∴m=-1或-3．
点睛: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数
根．也考查了解一元二次方程．
6．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根． （1）求a的取值范围；
（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解． 【答案】（1）a≤【解析】
【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；
（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得. 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根， ∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤
17；（2）x=1或x=2 417； 417， 4∴a的最大整数值为4， 此时方程为x2﹣3x+2=0， 解得x=1或x=2．
（2）由（1）可知a≤
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
7．阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式。求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解。求解分式方程，把它转化为整式方程来解。各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知。
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程。例如，一元三次方程
2x3?x2?2x?0，可以通过因式分解把它转化为x(x?x?2)?0，解方程x?0和
x2?x?2?0，可得方程x3?x2?2x?0的解。
（1）问题：方程x3?x2?2x?0的解是x1?0，x2?_____，x3?_____。 （2）拓展：用“转化”思想求方程4x?3?x的解。
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD?6m，宽AB?4m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C。求AP的长。
【答案】（1）2，-1; （2）1，3 ; （3）3m. 【解析】 【分析】
（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，验根即可；
（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可. 【详解】 （1）x3-x2-2x=0， x（x2-x-2）=0， x（x-2）（x+1）=0 所以x=0或x-2=0或x+1=0 ∴x1=0，x2=2，x3=-1； 故答案为： 2，-1； （2）4x?3?x 方程的两边平方，得4x-3=x2 即x2-4x+3=0 （x-3）（x-1）=0 ∴x-3=0或x-1=0 ∴x1=3，x2=1，
当x=3或1时, 4x?3有意义，故是方程的解. （3）因为四边形ABCD是矩形， 所以∠A=∠D=90°，AB=CD=4m, 设AP=xm，则PD=（6-x）m 因为BP+CP=10，BP=222AP2?AB2?x2?16,CP=DC?PD?16?(6?x) ,
所以16?(6?x)2=10-x2?16
两边平方，得16+(6-x)2=100-20x2?16+x2+16 整理，得3x+16=5x2?16, 两边平方并整理，得x2-6x+9=0 即（x-3）2=0 所以x=3．
经检验，x=3是方程的解．
人教中考数学易错题专题训练-一元二次方程练习题附答案
