§1.5.1 曲边梯形的面积
【学情分析】：
本节教材是在学生学习导数及其在研究函数的应用的基础上，开始初步探究定积分的概念。学生对这个解决问题的思想方法和步骤还是很生疏,必须深入浅出,逐步渗透. 【教学目标】：
（1）知识与技能：定积分概念的引入
（2）过程与方法：“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 （3）情感态度与价值观：通过引导学生用已学知识求曲边梯形的面积，培养学生应用数学的意识。 【教学重点】：
了解定积分的基本思想方法——以直代曲、逼近的思想，初步掌握求曲边梯形面积的步骤。 【教学难点】：
“以直代曲”“逼近”思想的形成过程；求和符号∑。 【教学过程设计】：
一、创设情景
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？
这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数y?f(x)在某一区间I上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数y?f(x)称为区间I上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数）
二、新课讲授
问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y?f(x)的一段，我们把由直线x?a,x?b(a?b),y?0和曲线y?f(x)所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？
例1：求图中阴影部分是由抛物线y?x，直线x?1以及x轴所围成的平面图形的面积S。 思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？
（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？
分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用． y y y x x x 1 1 1
1
2把区间?0,1?分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积． 解： （1）．分割
在区间?0,1?上等间隔地插入n?1个点，将区间?0,1?等分成n个小区间： ?0,yy=x2Oi-1in1xn?1??12??n?1?,,1，，…， ???n????nn???n?ii?11?i?1i?,?(i?1,2,L,n)，其长度为： ?x??记第i个区间为?? nnnnn??分别过上述n?1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作：
?S1，?S2，…，?Sn，显然，S?（2）近似代替
??S
ii?1nyy=x2f(i?1)n?i?1i?,记f?x??x，如图所示，当n很大，即?x很小时，在区间??nn??2上，可以认为函数f?x??x的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认
2i-1iOi?1?i?1?为它近似的等于左端点处的函数值f??，从图形上看，就是用平nnnn??行于x轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间?i?1i?,?上，用小矩形的面积?Si?近似的代替?Si，即在局部范围内“以直代取”，则有 ?nn??1x?i?1??i?1??i?1?1?Si??Si??f?g?x?g?x??????g(i?1,2,L,n) ①
nnn??????n（3）求和
由①，上图中阴影部分的面积Sn为
ni?1???i?1?1Sn???Si???f?g?x?????g
?n?i?1i?1i?1?n?nnn2221?1?12?n?1?11?22? =0g???g?L??=1?2?L?n?1g???3??n?n?n?n?nn1?n?1?n?2n?1?1?1??1?=3=?1???1??
3?n??2n?n61?1??1?从而得到S的近似值 S?Sn??1???1??
3?n??2n?（4）取极限
分别将区间?0,1?等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当n趋向于无穷大时，即?x趋向于0时，Sn?221?1??1?1?1?????趋向于S，从而有 3?n??2n? 2
nS?limn??S?limn???f?i?1?i?1??n??g1n?lim1?n??3??1?1??n????1?1?2n???1n3
从数值上的变化趋势：
三、求曲边梯形面积的四个步骤:
第一步：分割．将?a,b?分为n等份，每份区间长为
b?an 第二步：近似代替，“以直代取”：?Si'??Si，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积.
第三步：求和：Sn??S1'??S2'?L??Sn'
第四步：取极限：S?limb?an??Snn
说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割?以直代曲?求和?逼近 2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值
四、练习．
求y?2x?x2,y?0,0?x?2围成图形面积 解：1．分割
在区间?0,2?上等间隔地插入n?1个点，将区间?0,2?等分成n个小区间：
??2??0,2?n??，??2?n,4??n?1?n??，…，?,1??n? ?记第i个区间为??2?i?1?,2i?2i2?i?1?2?nn?(i?1,2,L,n)，其长度为：??x?n?n?n 分别过上述n?1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作：
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?S1，?S2，…，?Sn， 显然，S? （2）近似代替
??S
ii?1n∵y?2x?x，当n很大，即?x很小时，在区间?2?2?i?1?2i?,?(i?1,2,L,n)上，可以认为函数nn??y?2x?x2的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点
22?i?1?处的函数值n?2?i?1???2?i?1???2?i?1?2i?2??，这样，在区间,?上，用小矩形的面积?Si?近似的代替?Si，即?????n??n??nn?在局部范围内“以直代取”，则有
S??2?i?1???2?i?1??2???2?i?1???2?i?1??2??2i??Si????2??????g?x??2??????n??n??????n??n????g?n ①
（3）求和
由①，上图中阴影部分的面积Sn为
nn??2?i?1???2?i?1??2?S???Si?1??2??2ni??i?1???n???n????g
???nn=?4gi?1g?i?1n??1?i?1?n??g2n=8nn3??n?i?1???i?1?2? i?1??=8n??0?1?2?L??n?1????8?2222n31?2?L??n?1?? =8n?n?1?8?n?1?n?2n?n22?1?n36 从而得到S的近似值 S?S8n?n?1?n?n22?8?n?1?n?2n?1?n36 （4）取极限
nS?limS??8n?n?1?8?n?1?n?2n?1??4n?lim?2?3?? n??n??i?1?n2n6?3练习
设S表示由曲线y?x，x=1，以及x轴所围成平面图形的面积。
五：课堂小结
求曲边梯形的思想和步骤：分割?以直代曲?求和?逼近 （“以直代曲”的思想）
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湖北省巴东一中高中数学 1.5.1定积分的概念第1课时教案 新人教版选修22
