15.如图,过抛物线y=4x的焦点F作直线,与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若????????????? =3????????????? ,则直线AB的方程为 ,|AB|= .
解析抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,设C(-1,m),B(a,b),
2
∵????????????? =3????????????? ,∴(-2,m)=3(a-1,b)=(3a-3,3b),则3a-3=-2,m=3b,即a=3,此时b=4×3,得b=-2
11
√=-3
42√33
,即m=-2√3,
2√32
则C(-1,-2√3),则AB的斜率k=则直线方程为y=√3(x-1),
=√3,
代入y=4x,得3x-10x+3=0,得x1+x2=3, 即|AB|=x1+x2+2=3+2=3. 答案y=√3(x-1) 16310
16
22
10
16.已知点O(0,0),A(4,0),B(0,4).若从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后过点Q(-2,0),则反射光线所在直线的方程为 ;若从点M(m,0),m∈(0,4)射出的光线经直线AB反射,再经直线OB反射后回到点M,则光线所经过的路程是 (结果用m表示).
解析根据题意,设点P1(a,b)与点P(1,0)关于直线AB对称,则P1在反射光线所在直线上,
又由A(4,0),B(0,4),
则直线AB的方程为x+y=4,
??=1,??-1??=4,
则有{??+1??解得{即P1(4,3),
??=3,+=4,22反射光线所在直线的斜率k=4-(-2)=2, 则其方程为y-0=(x+2),即x-2y+2=0;
21
3-0
1
设点M1(a0,b0)与点M关于直线AB对称,点M2与M关于y轴对称,易得M2(-m,0); 线段M1M2的长度就是光线所经过的路程,
??0
=1,??0-??则有{??+??0??0
2
+
2
=4,
解得{
??0=4,
??0=4-??,
即M1(4,4-m), 又由M2(-m,0),
22
则|M1M2|=√(4+??)+(4-??)=√2??2+32.
答案x-2y+2=0 √2??2+32
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(0,-5),C(10,0),线段AC的垂直平分线为l. (1)求直线l的方程;
(2)点P在直线l上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P的坐标. 解(1)直线AC的斜率为kAC=2-10=-2, 所以直线l的斜率为k1=2,
直线AC的中点为(6,2),所以直线l的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.
(2)由(1)得点A关于直线l的对称点为点C,所以直线BC与直线l的交点即为|AP|+|BP|最小的点.
由B(0,-5),C(10,0)得直线BC的方程为+=1,即x-2y-10=0,
10
-5
4-0
1
????,??-2??-10=0,3
联立方程{解得{10 2??-??-10=0,??=-,
3
??=
10
所以点P的坐标为(,-).
33
18.(12分)已知直线l:ax-y-3a+1=0恒过定点P,过点P引圆C:(x-1)+y=4的两条切线,设切点分别为A,B.
(1)求直线AB的一般式方程;
(2)求四边形PACB的外接圆的标准方程.
解(1)∵直线l:y-1=a(x-3).∴直线l恒过定点P(3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A(3,0).由圆的性质可知AB⊥PC,
2
2
1010
∵kPC=3-1=2,∴kAB=-2,
所以直线AB的方程为y=-2(x-3), 即2x+y-6=0.
22
(2)由题意知|PC|=√(3-1)+(1-0)=√5.
1-01
∵PA⊥AC,PB⊥BC,
所以四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆,PC的中点坐标为(2,2),所以四边形PACB的外接圆为(x-2)+(??-)=.
2419.(12分)已知F1,F2分别是双曲线
??2
E:??2
??2
?2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P??2
1
12
5
是双曲线上一点,F2到左
顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍, (1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为48√3,求此双曲线的方程. 解(1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,
则点F2到渐近线距离为2
2
2
|????±0|√??2+??24
=b(其中c是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b.
又因为a+b=c,解得b=3a,
故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y=0.
(2)因为∠F1PF2=60°,由余弦定理得|PF1|+|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos60°=|F1F2|, 即|PF1|+|PF2|-|PF1|·|PF2|=4c. 又由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a, 平方得|PF1|+|PF2|-2|PF1|·|PF2|=4a, 相减得|PF1|·|PF2|=4c-4a=4b.
根据三角形的面积公式得S=|PF1|·|PF2|sin60°=·4b=√3b=48√3,得b=48.
21
√34
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
由(1)得a=b=27,
16
2
9
2
故所求双曲线方程是27?
2
??2??248
=1.
20.(12分)已知抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,A点在抛物线上,且A的横坐标为4,|AF|=5. (1)求抛物线的方程;
(2)设l为过(4,0)点的任意一条直线,若l交抛物线于B,C两点,求证:以BC为直径的圆必过坐标原点.
(1)解抛物线y=2px(p>0)的焦点为F(,0),准线为x=-,由抛物线的定义可得,|AF|=4+=5,解得
222
2
??????p=2,即抛物线的方程为y2=4x.
(2)证明设直线l:x=my+4,B(x1,y1),C(x2,y2),
代入抛物线方程y=4x,可得y-4my-16=0, 判别式为16m+64>0恒成立,
2
2
2
y1+y2=4m,y1y2=-16,
x1x2=2
??21??2
4
·
4
=16,
即有x1x2+y1y2=0,则????????????? ⊥????????????? ,则以BC为直径的圆必过坐标原点. 21.(12分)在平面直角坐标系xOy中有曲线Γ:x+y=1(y>0).
2
2
(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;
(2)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求三角形OAB的面积最大值,并求出对应B点的坐标; (3)如图2,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段
OC长度的最大值.
解(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y0>0,设线段AB的中点为点M(x,y),
2由于点B在曲线Γ上,则??20+??0=1,
①
因为点M为线段AB的中点,则2x=x0+2,2y=y0,得x0=2x-2,y0=2y, 代入①式得(2x-2)+4y=1,化简得(x-1)+y=4,其中y>0.
(2)设B(x0,y0),0 1 2 2 2 2 1 结合图形可知,点C在右半圆D:(x-2)+(y-2)=1(x>2)上运动, 问题转化为原点O到右半圆D上一点C的距离的最大值, 连接OD并延长交右半圆D于点C',当点C与点C'重合时,|OC|取最大值, 且|OC|max=|OD|+1=2√2+1. 22. 2 2 (12分)如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志,为美观考虑,要求图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等.已知椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆 ??2??2 +??2=1(a>b>0)面积为S椭圆=πab ??2 (1)求椭圆的离心率的值; (2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合适的坐标系,求出点M的轨迹方程. ??2 解(1)建立如图平面直角坐标系.设外椭圆的方程为2 ????2 +2=1(a>b>0), ??∵内外椭圆有相同的离心率且共轴, 可得内椭圆长轴为b,设内椭圆短轴长为b',焦距长为c',得??= ??2??2??2 ????'????2222 ,c'=,b'=b-c'=b-????= ??2(??2-??2) ??2 =??2.∴内椭圆的方程为??2+ ??4??2??2 ??4??2=1. ??2 图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等,由对称性只需S外=3S内,即πab=3πb.??得a=3b, 即a=3(a-c),故e=. (2)同(1)建立如图平面直角坐标系,由于外椭圆长轴为6,∴a=3,又e=,∴c=√6,b=3. 则外椭圆方程为 ??29 √63 2 2 2 2 22 √63 + ??23 =1. 设点M(x0,y0),切线方程为y-y0=k(x-x0), 代入椭圆方程得,(1+3k)x+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)-9=0. 2 2 2 ∴Δ=36k2(y0-kx0)2-4(1+3k2)[3(y0-kx0)2-9]=0. 化简得(x0-9)k-2x0y0k+??20-3=0. 2 ∵两条切线互相垂直,∴k1k2=-1, 22即??02-9=-1,即??0+??0=12(x0≠±3). 0 ??2-3 当两切线与坐标轴垂直时,四点(3,±√3),(-3,±√3)也满足方程,∴轨迹方程为x+y=12. 22
2020_2021学年新教材高中数学第二章平面解析几何测评课后提升训练(含解析)新人教B版选择性必修第一册
