第二章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线l过点(2,-1),且在y轴上的截距为3,则直线l的方程为( )
A.2x+y+3=0 C.x-2y-4=0
B.2x+y-3=0 D.x-2y+6=0
解析由题意直线过(2,-1),(0,3),
故直线的斜率k=0-2=-2,
故直线的方程为y=-2x+3,即2x+y-3=0. 答案B 2.已知点P(-2,4)在抛物线y=2px(p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( ) A.(0,2)
??2
3+1
B.(0,4)
2
C.(2,0) D.(4,0)
解析因为点P(-2,4)在抛物线y=2px的准线上,
所以-2=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0). 答案C 3.已知直线l1:xcosα+√3y+2=0,若l1⊥l2,则l2倾斜角的取值范围是( ) A.[,)
32C.[,]
3
2
2
2
ππ
B.[0,]
6
π
ππ
D.[,
3
π5π6
]
cos2??√3解析因为l1:xcosα+√3y+2=0的斜率k1=-1
∈[-
√3,0],当3
1
cosα=0时,即k1=0时,k不存在,此时
π
π
倾斜角为2π,由l1⊥l2,k1≠0时,可知直线l2的斜率k=-??≥√3,此时倾斜角的取值范围为[3,2).
1
综上可得l2倾斜角的取值范围为[3,2]. 答案C 4.设抛物线y=4x的焦点为F,准线为l,则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为( ) A.(x-1)+y=4 C.(x-2)+y=16
2
22
2
2
ππ
B.(x-1)+y=16 D.(x+2)+y=4
2
2
2
22
解析根据题意,抛物线y=4x,其焦点在x轴正半轴上,且p=2,则其焦点F(1,0),准线方程为x=-1,
以F为圆心,且与l相切的圆的半径r=2, 则该圆的方程为(x-1)+y=4. 答案A 2
2
5.在一个平面上,机器人到与点C(3,-3)的距离为8的地方绕C点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A(-10,0)与B(0,10)的直线的最近距离为( ) A.8√2-8 C.8√2 变,
B.8√2+8 D.12√2
解析机器人到与点C(3,-3)距离为8的地方绕C点顺时针而行,在行进过程中保持与点C的距离不
∴机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示;
∵A(-10,0)与B(0,10),
∴直线AB的方程为-10+10=1,即为x-y+10=0,
则圆心C到直线AB的距离为d=答案A 6.设P是双曲线??2???2=1(a>0,b>0)上的点,F1、F2是焦点,双曲线的离心率是3,且∠F1PF2=90°,△
??2
??2
4
|3+3+10|√1+1????=8√2>8,∴最近距离为8√2-8.
F1PF2的面积是7,则a+b等于( )
A.3+√7 B.9+√7
C.10
D.16
1
2????=7, ??-??=2??,
解析由题意,不妨设点P是右支上的一点,|PF1|=m,|PF2|=n,则222∴a=3,c=4. ??+??=4??,
??=4,{??3
∴b=√??2-??2=√7.∴a+b=3+√7.
答案A 7.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h,跨径为a,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )
A.
??2
8??B.
??2
4??C.
??2
2??D.
??2
??
解析根据题意,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y轴建立如右图所示的平面直角坐标系,该抛物线方程可写为x=-2py(p>0).
2
∵该抛物线经过点(2,-??),代入抛物线方程可得4=2hp,解得p=8??.∴桥形对应的抛物线的焦
点到准线的距离即为p=答案A 8.平面直角坐标系中,设A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),点M在单位圆上,则使得△MAB为直角三角形的点M的个数是( ) A.1
B.2
C.3
D.4
??2
. 8??????2??2
解析根据题意,如图,若△MAB为直角三角形,分3种情况讨论:
①∠MAB=90°,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,
又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则kAB=2.56-0.561.02-(-0.98)
=1,
则????1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0, 此时原点O到直线l1的距离d=|0.42|√2=
21√2100
<1,
直线l1与单位圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M;
②∠MBA=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上,设该直线为l2,同理可得,直线l2的方程为y-2.56=-(x-1.02),即x+y-3.58=0,
此时原点O到直线l2的距离d=|3.58|√2=
179√2>1, 100
直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M;
③∠AMB=90°,此时点M在以AB为直径的圆上,
又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为
(0.02,1.56),|AB|=√4+4=2√2,则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=|AB|=√2,
2
22
此时|OC|=√(0.02)+(1.56)=√2.4340,
1
则有√2-1<|OC|<√2+1,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M. 综合可得,共有4个符合条件的点M. 答案D 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.
9.已知圆C1:x+y=r,圆C2:(x-a)+(y-b)=r(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有( )
A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0 B.2ax1+2by1=a+b C.x1+x2=a D.y1+y2=2b
解析两圆方程相减可得直线AB的方程为a+b-2ax-2by=0,即2ax+2by=a+b,故B正确;
分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a+b得2ax1+2by1=a+b,2ax2+2by2=a+b, 两式相减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0, 即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;
由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.
答案ABC 10.若P是圆C:(x+3)+(y-3)=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为( ) A.4
B.6
C.3√2+1
D.8
解析直线y=kx-1恒过定点A(0,-1)点,当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离最大,等于
2
2
AC+r,圆心坐标为(-3,3),
22
所以为√(-3)+(3+1)+1=6,
当直线与圆有交点时,点P到直线的距离最小为0,所以点P到直线y=kx-1距离的范围为[0,6]. 答案ABC 11.在平面直角坐标系中,曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有( ) A.曲线C是轴对称图形
B.曲线C上所有的点都在圆x+y=2外 C.曲线C是中心对称图形
D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2
解析设P(x,y),则kPA+kPB=2,即??+2+??-2=2(x≠±2),整理得x-xy=4(x≠±2),
所以曲线C是中心对称图形,不是轴对称图形,故C正确,A错误; 由x-xy=4>2=x+y,所以曲线C上所有的点都在圆x+y=2外,故B正确; 由x-xy=4可知,x∈R且x≠0,x≠±2,故D错误. 答案BC 12.已知P是椭圆E:是
A.P点纵坐标为3
??28
22
2
2
2
2
2
2
????2
+
??24
=1上一点,F1,F2为其左右焦点,且△F1PF2的面积为3,则下列说法正确的
( )
B.∠F1PF2> 2
π
C.△F1PF2的周长为4(√2+1) D.△F1PF2的内切圆半径为2(√2-1)
解析设P点坐标为(x,y),S=2×2c×|y|=2×4×|y|=3,得y=2或y=-2,故A错误;
椭圆中焦点三角形面积为S=btan2(θ为焦点三角形的顶角),S=4tan2=3,得tan2=4,则2<
π4
2
3
1133
??????3??,∠F1PF2<,故B错误;
2
π
??△??1????2=2a+2c=4(√2+1),故C正确;
设△F1PF2的内切圆半径为R,2R(4√2+4)=3,得R=2(√2-1),故D正确. 答案CD 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.经过点P(1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 . 解析根据题意,分2种情况讨论:
1
3
①直线经过原点,则直线l的方程为y=4x;
②直线不经过原点,设直线方程为x-y=a,把点P(1,4)代入可得1-4=a,解得a=-3,即直线的方
程为y=x+3.综上可得,直线的方程为y=4x或y=x+3. 答案y=4x或y=x+3
14.已知直线l:mx+(1-m)y-1=0(m∈R)与圆O:x+y=8交于A,B两点,C,D分别为OA,AB的中点,则
2
2
|AB|·|CD|的最小值为 .
解析直线l的方程可化为m(x-y)+y-1=0,
由{
??-??=0,
得x=y=1,即直线l恒过定点P(1,1),
??-1=0,
1
∵C,D分别为OA,AB的中点,∴|CD|=2|OB|=√2,当OP⊥AB时,|AB|最小,此时|AB|=2√(2√2)-(√2)=2√6,
∴|AB||CD|=√2|AB|≥√2×2√6=4√3.
答案4√3
2
2
2024_2024学年新教材高中数学第二章平面解析几何测评课后提升训练(含解析)新人教B版选择性必修第一册
