可把不同类别的方程的求解问题,在映射概念的基
定理一 设y1和y2是方程(6.2)的两个解,则C1y2+C2y2也是方程(6.2)的解,这里C1和C2证 因为y1和y2是方程(6.2) L[y1]=0,L[y2]=0,再由L L[C1y1+C2y2]=C1L[y1]+C2L[y2]=0所以C1y1+C2y2是方程(6.2)的解。
定义 对于定义在某区间上的两个函数y1
(x),y2(x),若存在两个不全为零的常数k1,k2,使得
k1y1(x)+k2y2(x)≡0
成立,则称函数y1(x),y2(x)在该区间内是线性相关的。若上式仅当k1,k2全为零时才能成立,则称y1(x),y2(x)在该区间
在两个不全为零的常数k1,k2 k1y1(x)+k2y2(x)≡0
由定义可知,若函数y1(x),y2(x)线性相关,则存
为进一步考察C1y1+C2y2是不是方程(6.2)的通解,
y2(x)k1设k2≠0有=- (常数);反之若它们的比
y1(x)k2不是常数,则y1(x),y2(x)
y2(x)6sinxcosx3 ==
2y1(x)sin2x
例如:函数y1(x)=sin2x,y2(x)=6sinxcosx是
y2(x)=e是两个线性
x
又如:函数y1(x)=e4x
y2(x)ex无关的函数,因为=4x=e-3x
y1(x)e下面给出C1y1+C2y2是方程(6.2)通解的条件,有以
定理二 若y1,y2是方程(6.2)的两个线性无关的特
y=C1y1+C2y2
证 由定理一,y=C1y1+C2y2是方程(6.2)的解,又因为y1与y2是线性无关的,所以两个任意常数C1,C2不能合并,即它们相互独立,所以y=C1y1+C2y2是方程(6.2)
下面讨论非齐次方程的通解的结构,有如下定理:
是方程(6.2)的通解,其中C1,C2是两个任意常数。
定理三 设y是方程(6.1)的一个特解,而Y=C1y1+C2y2是其对应的齐次方程(6.2) y=Y+y=C1y1+C2y2+y~~~
是方程(6.1)的通解,其中C1,C2是两个任意常数。
证:因为y是方程(6.1) L[y]=f(x)
~~
又因为Y=C1y1+C2y2是方程(6.2) L[C1y1+C2y2]=0
~
则 L[C1y1+C2y2+y]=0+f(x)=f(x)从而y=C1y1+C2y2+y是方程(6.1)
~
又由于其含有两个相互独立的任意常数C1,C2,所以y=C1y1+C2y2+y是方程(6.1)
~
这个定理对于一阶线性微分方程的通解也成立。在
~dy+p(x)y=q(x)的通解是其本身的一个特解y=dx e
-∫p(x)dx
∫q(x)e
∫pdx
dydx与对应的齐次方程+
dx-∫p(x)dx
p(x)y=0的通解Y=Ce
y=y+Y
~dy是方程+p(x)y=q(x)
dx定理四 设函数y1与y2
d2ydy 2+p(x) +q(x)y=f1(x)
dxdxd2ydy 2+p(x) +q(x)y=f2(x)
dxdx的一个特解,则y1+y2
d2ydy 2+p(x) +q(x)y=f1(x)+f2(x)的一个特
dxdx 证 由假设L[y1]=f1(x),L[y2]=f2(x),所以
L[y1+y2]=L[y1]+L[y2]=f1(x)+f2(x),
d2ydy即y1+y2是方程2=p(x) +q(x)y=f1(x)+
dxdxf2(x)的一个特解。证 定理五 设y=y1+iy2
d2ydy 2+p(x) +q(x)y=f1(x)+if2(x)
dxdx(其中p(x),q(x),f1(x),f2(x)是实值函数)的解。
d2ydy则 y1是方程2+p(x) +q(x)y=f1(x)的解。
dxdx
d2ydyy2是方程2+p(x) +q(x)y=if2(x)的解。
dxdx证 d2(y1?iy2)d(y1?iy2) +p(x)+q(x)(y1+iy2)≡2dxdxf1(x)+if2(x)
d2y1d2y2dy1即 [2+p(x) +q(x)y1]+i[2+
dxdxdxdy2q(x) +q(x)y2]≡f1(x)+if2(x)
dx d2y1dy1 2+p(x) +q(x)y1≡f1(x)
dxdxd2y2dy2 2+q(x) +q(x)y2≡f2(x)
dxdx证毕