2.3.2 方差与标准差
学习目标 1．会求样本的众数、中位数、平均数、方差、标准差． 2．理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法． 3．会应用相关知识解决简单的统计问题.
1．极差
把一组数据的最大值与最小值的差称为极差．极差较大，数据点较分散；极差较小，数据点较集中，较稳定．运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但当两组数据的集中程度差异不大时，就不容易得出结论．
预习交流1
下列叙述不正确的序号是__________．
①样本的平均数可以近似地描述总体的平均水平 ②极差描述了一组数据变化的幅度
③样本的方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小 ④一个班级的数学成绩的方差越大，说明成绩越稳定
提示：一个班级的数学成绩的方差越大，说明成绩越不稳定，故④不正确． 2．样本方差、样本标准差的概念
1n22
一般地，设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为x，则称s＝i∑(xi－x)为这＝1 重点难点 重点：会求样本的数字特征数． 难点：理解用样本数字特征估计总体数字特征的方法. n个样本的方差，其算术平方根s＝1nn∑ (xi－x)为样本的标准差，分别简称样本方差、i＝12样本标准差．标准差的单位与原始数据单位相同，方差的单位是原始数据单位的平方．
预习交流2
样本方差和样本标准差描述了样本数据的什么特征？ 提示：样本方差与样本标准差是刻画数据的离散程度的统计量，它反映了一组数据围绕其平均数波动的大小程度．方差、标准差越大，离散程度越大，方差、标准差越小，离散程度越小，就越稳定．因此方差、标准差也可以刻画一组数据的稳定程度．
预习交流3
(1)下列说法中正确的是__________．
①在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体
②一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
③平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 ④一组数据的方差越大说明这组数据的波动越大
(2)在统计中，样本的标准差可以近似地反映总体数据的 ①平均状态 ②分布规律 ③离散程度
④最大值和最小值
其中正确的是__________．
(3)若样本x1＋1，x2＋1，x3＋1，…，xn＋1的平均数为10，方差为2，则样本x1＋2，x2＋2，x3＋2，…，xn＋2的平均数、方差分别为__________，__________.
提示：(1)①③④ (2)③ (3)11 2
一、方差、标准差的计算
某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表： 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 求以上两组数据的方差及标准差． 思路分析：解答本题的关键是掌握方差、标准差的公式和求解步骤．
6＋7×3＋86×2＋7×2＋9
解：x甲＝＝7，x乙＝＝7，
55
12222
s2甲＝[(6－7)＋3×(7－7)＋(8－7)]＝＝0.4，
5516222
s2乙＝[2×(6－7)＋2×(7－7)＋(9－7)]＝＝1.2.
55
所以它们的标准差分别为：
1030
，. 55
1．样本101,98,102,100,99的标准差为____． 答案：2
112
解析：方法一：样本平均数x＝(101＋98＋102＋100＋99)＝100，方差s＝[(101－
55100)＋(98－100)＋(102－100)＋(100－100)＋(99－100)]＝2，∴s＝2.
1
方法二：将各数据都减去100得新数据为1，－2,2,0，－1，其平均数x′＝(1－2
5
12122222
＋2＋0－1)＝0，∴方差为s＝[1＋(－2)＋2＋0＋(－1)]＝×10＝2，
55∴标准差s＝2.
2．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：
甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5
乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6
丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有s1，s2，s3的大小关系是__________．
答案：s2＞s1＞s3
7×5＋8×5＋9×5＋10×5122
解析：甲的平均数x＝＝8.5，方差s＝[5×(7－8.5)＋
2020
2
2
2
2
2
51729222
5×(8－8.5)＋5×(9－8.5)＋5×(10－8.5)]＝；同理乙的平均数为，方差为；丙的
4220
1721
平均数为，方差为.故s2＞s1＞s3.
220
3．求数据501,502,503,504,505,506,507,508,509的方差与标准差．
1
解法一：x＝(501＋502＋503＋504＋505＋506＋507＋508＋509)＝505.
91222222
∴方差s＝[(501－505)＋(502－505)＋(503－505)＋(504－505)＋(505－505)＋
9
122222222222
(506－505)＋(507－505)＋(508－505)＋(509－505)]＝(4＋3＋2＋1＋0＋1＋2＋
9
12022
3＋4)＝×60＝，
9320215
＝. 33
解法二：用新数据法：将原数据同时都减去500，得到一组新数据1,2,3,4,5,6,7,8,9，
1
则其平均数x′＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝5.
9122222222
∴方差s＝[(1－5)＋(2－5)＋(3－5)＋(4－5)＋(5－5)＋(6－5)＋(7－5)＋(8
91202022
－5)＋(9－5)]＝(16＋9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＋16)＝.∴原数据的方差也为，标准差
933
∴标准差s＝215
为.
3
(1)方差与标准差刻画了数据相对于其平均数的离散程度，与平均数密
切相关．因此求方差与标准差，一般先求平均数，再求方差，再由方差求标准差．当一组数据中的数值较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据x′1＝x1－a，x′2＝x2－a，…，x′n＝xn－a，数据x1，x2，x3，…，xn的方差与新数据x′1，x′2，…，x′n的方差相等．也就是说，根据方差公
2
式，可求得新数据x′1，x′2，…，x′n的方差与原数据x1，x2，…，xn的方差相等，即s1n2＝i∑(x′i－x′)，这样能简化运算． ＝1
n(2)求样本数据x1，x2，…，xn的方差、标准差的计算步骤： ①求样本数据的平均数x；
②求每个样本数据与样本平均数x的差(xi－x)，其中i＝1，2，…，n； ③分别求出②中(xi－x)的平方，其中i＝1，2，…，n； ④求出③中n个平方数的平均数，即为样本方差；
⑤样本方差的算术平方根，即为样本标准差. 二、方差与标准差的应用
从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：(单位：cm) 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问：(1)哪种玉米的苗长得高？ (2)哪种玉米的苗长得齐？
思路分析：(1)要判断哪种玉米苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米苗的平均株高即可； (2)要判断哪种玉米苗长得齐，只要比较两种玉米苗株高的方差即可．
解：(1)用x甲，x乙分别表示甲、乙两种玉米苗的平均株高，则x甲＝＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝1
(25＋41＋4010
11
×300＝30(cm)；x乙＝(27＋16＋44＋27＋44＋161010
1
＋40＋40＋16＋40)＝×310＝31(cm)．
10
∵x甲＜x乙，∴乙种玉米苗长得高．
122[(25－30)＋(41－30)10
2222222
＋(40－30)＋(37－30)＋(22－30)＋(14－30)＋(19－30)＋(39－30)＋(21－30)＋(42
1122
－30)]＝(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝×1 042＝104.2(cm)；
10101122222222
s2[(2×27＋3×16＋3×40＋2×44)－10×31]＝×1 288＝128.8(cm)．∵s甲＜s乙，乙＝1010∴甲种玉米苗长得齐．
(2)用s甲，s乙分别表示甲、乙两种玉米苗株高的方差，则s甲＝
2
2
2
1．设一组数据的方差是s，将这组数据的每个数据都乘以10，所得到的一组新数据的方差是__________．
2
答案：100s
1n1n22
解析：设原数据组为x1，x2，…，xn，方差为s＝i∑(xi－x)，x＝i∑xi，新数据组＝1＝1
2
nn1n为10x1,10x2，…，10xn，方差s＝i∑(10xi－a)，其中a＝i∑10xi＝10x，∴s＝i∑(10xi＝1＝1＝1
nn2
1
2
11
nn21
n1222
－10x)＝i∑100(xi－x)＝100s. ＝1
nn2．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差是2，则xy＝__________.
答案：96
9＋10＋11＋x＋y解析：∵＝10，∴x＋y＝20.①
51122222
由s＝2，得2＝[(9－10)＋(10－10)＋(11－10)＋(x－10)＋(y－10)]＝[(x－
55
2222
10)＋(y－10)＋2]，即(x－10)＋(y－10)＝8.②
由①②，得x＝8，y＝12或x＝12，y＝8，∴xy＝96.
222
另解：∵x＋y＝20，由②，得x＋y－20(x＋y)＋200＝(x＋y)－2xy－20(x＋y)＋200＝8，将x＋y＝20代入得2xy＝192，∴xy＝96.
3．(1)已知一组数据2,1，x,7,3,5,3,2的众数是2，则该组数据的平均数为__________，方差为__________；
(2)若a1，a2，a3，…，a8的方差为3，则2(a1－3),2(a2－3)，…，2(a8－3)的方差为__________．
25215
答案：(1) (2)12
864
解析：(1)由众数为2，知x＝2，
125
所以x＝(3×2＋2×3＋1＋7＋5)＝，
88?25?2?25?2?25?23?2－?＋2?3－?＋?1－?8?8??8??1?2152
s＝＝. 86425?2?25?2?＋?7－?＋?5－?8??8??
????????
1222
(2)由题意知3＝[(a1－a)＋(a2－a)＋…＋(a8－a)]．
8又∵2(a1－3),2(a2－3)，…，2(a8－3)的平均数为2(a－3)， 12222
∴s＝[4(a1－a)＋4(a2－a)＋…＋4(a8－a)]＝4×3＝12.
8
(1)方差与标准差的三点说明：
①引入方差、标准差刻画数据的原因：
单从众数、中位数、平均数、极差来分析数据，各个数据的波动情形无法更好、更全面地体现．
②方差、标准差的意义： 方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，体现了样本数据到平均数的一种平均距离．
③方差、标准差的实际应用： 方差与原始数据单位不同，平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但实际解决问题时一般采用标准差．
(2)平均数、方差的性质及计算方法,①性质,若x1，x2，x3，…，xn的平均数是x，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是mx＋a；
数据x1，x2，…，xn与数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等；
222
若x1，x2，…，xn的方差为s，那么ax1，ax2，…axn的方差为as. ②方差的计算
12222
基本公式：s＝[(x1－x)＋(x2－x)＋…＋(xn－x].
n简化计算公式：
11
s2＝[(x12＋x22＋…＋xn2)－nx2]，或写成s2＝(x12＋x22＋…＋xn2)－x2，即方差等于
nn原数据平方的平均数减去平均数的平方.
三、用样本数字特征估计总体
甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．
思路分析：本题主要考查平均数和方差的应用．由图象统计出甲、乙两人的成绩，再由公式分别求出平均数和方差，最后分析结果，作出评价．
解：(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：10,13,12,14,16； 乙：13,14,12,12,14.
10＋13＋12＋14＋16x甲＝＝13，
5
高中数学 2.3.2 方差与标准差学案 苏教版必修3
