?z?1,? fZ(z)??2?0,?|z?|其它.1,
解2：分布函数法，设Z的分布函数为FZ(z)，则 FZ(z)?P(Z?z?)P(?X?Y?)z??x?y?z(f,x)y dxdy??0z??1?0,???(zz1?? ????dxd,y?1???D1???1?z?1?1,,?1)4,2z??1,,??1?z 1,z?1. 故Z的密度为
?z?1,? fZ(z)?FZ?z(?)?2?0,?|z?|其它.1,
七、（9分）已知分子运动的速度X具有概率密度
x2?()?4x2?e,?f(x)???3??0,?x?0,x?0.??0, x1,x2,?,xn为X的简单随
机样本
（1）求未知参数?的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为?的无偏估计。 解：（1）先求矩估计 ?1?EX?2???04x3??(x3???e?(x?)2dx
??2x??e?)2?04?????0xe?(x?)2dx?2???? ???2X
再求极大似然估计
n L(X1,?,Xn;?)???i?14xi32?n2e?(xi?)2
1n ?? lnL??3nln??ln(??n2n?3n???4(x1?xn)?e2n2?2?xii?12
4)?ln(x1?xn)?1n?2?xi?12i
?lnLd???3n??2n2i?3?xi?1?0
n?? 得?的极大似然估计 ?2?xii?123n，
（2）对矩估计
?? E??2EX??2?2????
所以矩估计 ???2X是?的无偏估计.
八、（5分）一工人负责n台同样机床的维修，这n台机床自左到右排在一条直
线上，相邻两台机床的距离为a（米）。假设每台机床发生故障的概率均为
1n，且相互独立，若Z表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走
的路程，求EZ.
解：设从左到右的顺序将机床编号为1,2,?,n
X为已经修完的机器编号，Y表示将要去修的机床号码，则 P(X?i)?1n,P(Y?j)?1n,i,j?1,2,?,n
P(X?i,Y?)j?P(X?)i(P?Y1)?j2 n Z?|i?j|a 于是
nn EZ???|i?i?1nj?1nj|aP(X?i,Y?j)
1n2 ???|i?i?1j?1j|a?
n ?an2n?i?12?i??(i?j)??j?1?j?i?1(j??i?) ?(n?1) ?a.
3n
《概率论与数理统计》试题（5）
一、 判断题（每小题3分，本题共15分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 设A、B是Ω中的随机事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B) ( ) ⑵ 设A、B是Ω中的随机事件,则A∪B=A∪AB∪B ( ) ⑶ 若X服从二项分布b(k;n,p), 则EX=p ( ) ⑷ 样本均值X=
1
nn?i?1Xi是母体均值EX的一致估计 （ ）
⑸ X～N(?,?12) , Y～N(?,?22) ，则 X－Y～N(0, ?12－?22) （ ） 二、 计算（10分）
（1）教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率； （2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.
三、（10分） 设P(A)?0,P(B)?0，证明A、B互不相容与A、B相互独立不能同时成立.
四、（15分）某地抽样结果表明，考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布，平均成绩（即参数?之值）为72
分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。分布表如下
x 0 1 1.5 2 2.5 3
Ф(x) 0.5 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 五、（15分） 设(X,Y)的概率密度为
?(x?y)?,?e f(x,y)??,??0x?0,Y?0,其他.
问X,Y是否独立？
六、（20分）设随机变量服从几何分布，其分布列为
k?1 P(X?k)?(1?p)，p0?p?1,k?1,2,?
求EX与DX
七、（15分）设总体X服从指数分布
?e?(x??),? f(x;?)????0,x??,其他.
试利用样本X1,X2,?,Xn，求参数?的极大似然估计. 八
《概率论与数理统计》试题（5）评分标准
一 ⑴ ×；⑵ √；⑶ ×；⑷ √；⑸ ×。 二 解 （1）设A?‘他们的生日都不相同’，则 P(A)?P3653651rr----------------------------------------------------------5分
（2）设B?‘至少有两个人的生日在同一个月’，则 P(B)?或
C4C1P?CC4?1CP?C12112412422223212?411296；
P(B)?1?P(B)?1?P121244?4196-------------------------------------------10分
三 证 若A、B互不相容，则AB??，于是P(AB)?0?P(A)P(B)?0 所以 A、B不相互独立.-----------------------------------------------------------5分
若A、B相互独立，则P(AB)?P(A)P(B)?0，于是AB??，
即A、B不是互不相容的.--------------------------------------------------------------5分
四 解 0.02?3PX(? ??(249?6)??196?7224分 (??)?1-------------------------3()???24)?0.977,??12分 2,?-------------------------------------71.?所求概率为
P(60?X????? =2Ф（1）-1=2×0.841-1=0.682--------------------15分
84?)?84?72(??)6?0(72??)12?(??)12----------12分 ()
五 解 边际密度为 fX(x)??0,?fx(y,dy)?????x?yeedy,???0x?0,?x?0;??????0,x?0,---5分 ??x?e,x?0.?0,f(y)? Y??y?e,y?0,---------------------------------------------------------10分 y?0.因为 f(x,y)?fXx(?)fYy(，所以X,Y独立.-----------------------------------15分
???k?1六 解1 EX??k(1?k?1p)k?1p?p?kqk?1?p?(x)?k?1x?qk??k??p??x??k?1??--8分
x?q其中 q?1?p
由函数的幂级数展开有
? 所以
?xk?0k?11?x，
?1?1? EX?p??1??p2(1?x)?1?x?x?q?x?q1. --------------------------------12分 p因为
? EX所以
2??kk?122pqk?1???k?p?x(?x)???k?1??x?q??x?p?2??(1?x)???x?q2?pp2-----16分
DX?EX?(EX)?22?ppn2?1p2?qp?2n.------------------------------------20分
七 解 L(X1,?,Xn;?)?n?ei?1?(xi??)?e?xi?n?i?1,xi??,i?1,2,?,n.
lnL?n???Xi-----------------------------------------------------------8分
i?1
dlnLd??n?0
??x---------------------------15分 由极大似然估计的定义，?的极大似然估计为?(1)
《概率论与数理统计》试题（6）
一、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”）
⑴ 设A、B是Ω中的随机事件，则Ａ－Ｂ?A （ ） ⑵ 对任意事件A与B，则有P(A∪B)=P(A)+P(B) （ ） ⑶ 若X服从二项分布b(k;n,p),则EX=npq ( )
⑷ X~ N（?，?2
），X1 ，X 2 ，??Xn是X的样本，则?~ N（?，?2
） （）
⑸X为随机变量，则DX=Cov（X，X）----------------------------------------------（ ）
二、（10分）一袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投
掷r次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？.
三、（15分）在平面上画出等距离a(a?0)的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长l(l?a)的针，求针与任一平行
线相交的概率.
四、（15分） 从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是
设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.
五、（15分）设二维随机变量（X，Y）在圆域x2+y2≤a2上服从均匀分布，（1）求X和Y的相关系数?；（2）问X,Y是否独立？
六、（10分）若随机变量序列X1,X2,?,Xn,?满足条件 (Xi lim2D?n??ni?11n25，
?) 0
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