《概率论与数理统计》试题（1）
一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”）
⑴ 对任意事件A和B，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A、B是Ω中的随机事件,则(A∪B)-B=A ( )
⑶ 若X服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差S2n=
1nn?(Xi?1i2?X)是母体方差DX的无偏估计 （ ）
二 、（20分）设A、B、C是Ω中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来 （1）仅A发生，B、C都不发生；
（2）A,B,C中至少有两个发生； （3）A,B,C中不多于两个发生； （4）A,B,C中恰有两个发生； （5）A,B,C中至多有一个发生。
三、（15分） 把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X的分布列为
X?215?116015111531 13012
P求Y?X2的分布列.
五、（10分）设随机变量X具有密度函数f(x)?求X的数学期望和方差.
六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求P(14?X?30).
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设X1,X2,?,Xn是来自几何分布 P(X?k)?p(1?p)k?1e?|x| ，?＜ x＜?，
,k?1?,2,,?0p?， 1的样本，试求未知参数p的极大似然估计.
《概率论与数理统计》试题（1）评分标准
一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。 二 解 （1）ABC
（2）AB?AC?BC或ABC?ABC?ABC?ABC；
（3）A?B?C或ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC； （4）ABC?ABC?ABC；
（5）AB?AC?BC或ABC?ABC?ABC?ABC
每小题4分；
三 解 设A?‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为x,y,a?x?y，则0?x?a,0?y?a,0?x?y?a，不等式构成平面域S.------------------------------------5分
a A发生?0?x?,0?y?,?x?y?a
222S a/2 不等式确定S的子域A，----------------------------------------10分
所以
A a /2 a P(A)?0
四 解 Y的分布列为
Y014
P17191 1 .
A的面积S的面积?14aaa -----------------------------------------15分
530530 Y的取值正确得2分，分布列对一组得2分；
1?|x|x?（因为被积函数为奇函数）--------------------------4分 ???2edx?0，
????221?x||?2xxedx??xedx DX?EX????02五 解 EX??? ??x2e?x?2[?xe??0?2????0??0xedx
edx]?2.----------------------------------------10分
?x?x?x??0?
六 解 X～b(k;100,0.20), EX=100×0.2=20, DX=100×0.2×0.8=16.----5分 30?2014?20P(14?X?30)??()??()---------------------------10分
1616 ??(2.5)??(?1 .5 =0.994+0.933--1
7 ?0.92.--------------------------------------------------15分
nn七 解 L(x1,?x,np;?)?pi?1?(p1xi?1)?pn?xi?n?p(1i?1)----------5分
n lnL?nlnp?(?i?1 X?n)ln?(1pi?n),n 解似然方程
dlnLdp?npn?X?i?1i1?p?0,--------------------------------10分
np?n???Xi?1i1?p，
得p的极大似然估计
1p? ?。--------------------------------------------------------------------15分
X
《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答
一、填空题（每小题3分，共15分）
1． 设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)?P(B)?0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为__________. 2． 设随机变量X服从泊松分布，且P(X?1)?4P(X?2)，则P(X?3)?______.
3． 设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y?X在区间(0,4)内的概率密度为fY(y)?_________. 4． 设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为?的指数分布，P(X?1)?eP{min(X,Y)?1}=_________.
?22，则??_________，
5． 设总体X的概率密度为
???(??1)x, f(x)????0,0?x?1,其它 ???1.
X1,X2,?,Xn是来自X的样本，则未知参数?的极大似然估计量为_________.
解：1．P(AB?AB)?0.3
即 0.3?P(AB)?P(AB)?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?0.5?2P(AB) 所以 P(AB)?0.1
P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?0.9. 2．P(X?1)?P(X?0)?P(X?1)?e 由 P(X?1)?4P(X?2) 知 e16??????e????,2P(X?2)????22e??
??e?2?e
2 即 2????1?0 解得 ??1，故
P(X?3)?e?1.
3．设Y的分布函数为FY(y),X的分布函数为FX(x)，密度为fX(x)则 FY(y)?P(Y?y)?P(X?2y)?P(?y?X?)yX?F()Xy? F(?)y 因为X~U(0,2)，所以FX(?y)?0，即FY(y)?FX(y) 故
fY(y)?FY?(y)?212yfX(?1,?y)??4y??0,0?y?4,
其它. 另解 在(0,2)上函数y?x严格单调，反函数为h(y)?所以
fY(y)?fX(y ?1,1?y)???4y2y??0,0?y?4,
其它. 4．P(X?1)?1?P(X?1)?e???2?e，故 ??2
P{minX(Y,?)?1}?1P ?1?e?4.
{mXinY(?,?1?P(X?1)P(Y? 1)n 5．似然函数为 L(x1,?,xn;?)? lnL?nln?(?
dlnLd??nn?(?i?1n?n??1)xi?(??1)(x1,?,xn)
?1?)?i?1ixl n??1??lnxi?1i?0
解似然方程得?的极大似然估计为
1?? ??1. n1?lnxini?1
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设A,B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确的是 （A）若P(C)?1，则AC与BC也独立. （B）若P(C)?1，则A?C与B也独立. （C）若P(C)?0，则A?C与B也独立.
（D）若C?B，则A与C也独立. （ ） 2．设随机变量X~N(0,1),X的分布函数为?(x)，则P(|X|?2)的值为 （A）2[1??(2)]. （B）2?(2)?1.
（C）2??(2). （D）1?2?(2). （ ） 3．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是
（A）X与Y独立. （B）D(X?Y)?DX?DY.
（C）D(X?Y)?DX?DY. （D）D(XY)?DXDY. （ ） 4．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为
(X,Y)(1,1)1619(1,2)19(1,3)118(2,1)13(2,2)(2,3)
P??
若X,Y独立，则?,?的值为 （A）?? （C） ??29,,????. （A）?? （D）??19,,??29.
1181616518??. （ ）
5．设总体X的数学期望为?,X1,X2,?,Xn为来自X的样本，则下列结论中 正确的是
（A）X1是?的无偏估计量. （B）X1是?的极大似然估计量. （C）X1是?的相合（一致）估计量. （D）X1不是?的估计量. （ ）
解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）. 事实上由图 可见A与C不独立.
S A B C
2．X~N(0,1)所以P(|X|?2)?1?P(|X|?2)?1?P(?2?X?2) ?1??(2)??(?2)?1?[2?(2?) 3．由不相关的等价条件知应选（B）.
1?] ? 应选（A）. 2?[1 4．若X,Y独立则有
Y ??P(X?2,Y?2)?P(X?2P)Y(? 2123X 121111111 18 3 ?(6 913??121??)(??)?(?? )93929?????? 3 3 ?129??118????， ??19
故应选（A）.
5．EX1??，所以X1是?的无偏估计，应选（A）.
三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是
合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
解：设A?‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B?‘任取一产品确是合格品’
则（1） P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)
50?.10?.02 0 ?0.9?0.9?P(AB)0.9?0.95 （2） P(B|A)???0.9977.
P(A)0.857四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率
都是2/5. 设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：X的概率分布为 P(X?k)?C3()()55k2k33?kk?0,1,2,3.
X027125154125x?0,2361253 即
P 8125 X的分布函数为
?0,?27?,?125??81, F(x)??125??117,?125???1,26 EX?3??,
552318 DX?3???.
55250?x?1,1?x?2, 2?x?3,x?3.五、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域D?{(x,y)|x?0,y?0,x?y?1} 上服从均匀分布. 求（1）(X,Y)关
于X的边缘概率密度；（2）Z?X?Y的分布函数与概率密度. 解： y （1）(X,Y)的概率密度为
1 D x+y=1
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