故答案为:2.
令2x=t,则t∈[,2],把原函数转化为关于t的一元二次函数,由最大值求得b,进一步求得函数最小值.
本题考查函数的最值及其几何意义,训练了利用换元法求最值,是中档题.
16.答案:
解析:解:椭圆
的左右焦点为F1,F2,过F2
作x轴的垂线与C交于A,B两点,若△ABF1是等边三角形, 如图:可得2c=|AB|,F2(c,0),可得|AB|=即2ac=b2=可得e2+2e-解得e=. 故答案为:.
利用已知条件.推出a、b、c的关系,然后求解椭圆的离心率即可. 本题考查椭圆的简单性质的应用,离心率的求法,考查计算能力. 17.答案:(本题满分为12分) 解:(1)因为
是acosB与bcosA的等差中项.
a2-c2,
=0,e∈(0,1)
,
所以2ccosA=acosB+bcosA.
由正弦定理得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA, 从而可得2sinCcosA=sinC, 又C为三角形的内角, 所以sinC≠0, 于是
,
又A为三角形内角, 因此
…(6分)
,
,即3=12-3bc,
(2)设△ABC的外接圆半径为R,则R=1,由余弦定理得所以bc=3.
所以△ABC的面积为:
…(12分)
解析:(1)利用等差数列的性质可得2ccosA=acosB+bcosA,由正弦定理得,两角和的正弦函数公式可得2sinCcosA=sinC,结合sinC≠0,可求
,又A为三角形内角,可得
.
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(2)设△ABC的外接圆半径为R,则R=1,利用正弦定理可求a,由已知及余弦定理得可求bc=3,进而根据三角形的面积公式即可计算得解.
本题主要考查了等差数列的性质,正弦定理,两角和的正弦函数公式,余弦定理,三角形的面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.
18.答案:解:(1)A班样本数据的平均值为(9+11+14+20+31)=17.
由此估计A班学生每周平均咀嚼槟榔的颗数为17颗; B班样本数据的平均值为(11+12+21+25+26)=19,
由此估计B班学生每周平均咀嚼槟榔的颗数为19颗. 故估计B班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多.
(2)A班的样本数据中不超过19的数据a有3个,分别为9,11,14, B班的样本数据中不超过21的数据b也有3个,分别为11,12,21. 从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同情况,
分别为(9,11),(9,12),(9,21),(11,11),(11,12),(11,21),(14,11),(14,12),(14,21).
其中a≥b的情况有(11,11),(14,11),(14,12)三种, 故a≥b的概率p=
.
解析:(1)先计算出A班学生每周平均咀嚼槟榔的颗数为17颗,再计算出B班学生每周平均咀嚼槟榔的颗数为19颗.故估计B班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多. (2)利用古典概型的概率计算a≥b的概率.
本题主要考查平均数的计算,考查古典概型的概率的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 19.答案:
(Ⅰ)证明:因为平面ABCD为正方形, ∴AD⊥DC,
又AD⊥DE,且DE∩DC=D, ∴AD⊥平面EDC,
又AD?平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面EDC. (Ⅱ)解:连接BE,由题意知取CD的中点O,连接EO,由由(Ⅰ)可知,EO⊥平面ABCD, ∵CD=2,∴EO=2,∴∴
.
.
,得EO⊥DC,
,
解析:(Ⅰ)证明AD⊥DC,AD⊥DE,推出AD⊥平面EDC,然后证明平面ABCD⊥平面EDC. (Ⅱ)连接BE,通过
.转化求解体积即可.
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用,几何体的体积的求法,考查计算能力.
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20.答案:解:(1)由已知可得,|PN|=|PM|,
即点P到定点N的距离等于到直线l1的距离, 故P点的轨迹是以N为焦点,l1为准线的抛物线, 所以曲线C的方程为y2=4x.…(4分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),直线l2斜率为k,显然k≠0, 由x1+x2=所以x0=
. =
,y0=kx0+m=,即D(
,).
得,k2x2+(2km-4)x+m2=0,
因为直线l2与圆E:(x-3)2+y2=6相切于点D, 所以|DE|2=6;DE⊥l2, 从而(
-3)2+()2=6;
-3=-2,
整理可得()2=2,即k=±.
所以m=0,
故l2的方程为y=x或y=-x.…(12分)
解析:(1)|PN|=|PM|,点P到定点N的距离等于到直线l1的距离,说明P点的轨迹是以N为焦点,l1为准线的抛物线,求解抛物线方程即可.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),直线l2斜率为k,显然k≠0,由k2x2+(2km-4)x+m2=0,利用韦达定理结合,直线l2与圆E:(x-3)2+y2=6相切于点D,(
2
得,-3)
+()2=6;求解即可.
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力.
21.答案:解:(Ⅰ)证明:,
当x>1时,f'(x)>0,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增, ∴
∴当x>1时,f(x)>0. (Ⅱ)
,可得
,
,
当a≥1时,1-ax2<0,lnx>0,∴h'(x)<0, ∴h(x)在(1,+∞)上单调递减, ∴h(x)<h(1)=0恒成立; 当0<a<1时,∵∴
对任意x∈(1,+∞)恒成立,
,
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∴当时,h(x)>0,不符合题意.
综上,a的取值范围是[1,+∞).
解析:(Ⅰ)求出函数的导数,判断函数的单调性,然后转化求解证明即可. (Ⅱ)求出导函数
,判断函数的单调性,求解函数的最值,然后推出结果.
本题考查函数的导数的应用,函数的单调性以及函数的最值的求法,考查发现问题解决问题的能力.
22.答案:解:(1)α=时,由消去t可得x+y=0,即直线l的普通方程为x+y=0,
由ρ=-4cosθ得ρ2=-4ρcosθ,得x2+y2=-4x,即x2+y2+4x=0. (2)联立
得t2+2t(sinα+cosα)-2=0,
设A,B对应的参数为t1,t2,
则t1+t2=-2(cosα+sinα),t1t2=-2, ∴
+
=+=
=
=
=
,
∴sin2α=-1时,取得最小值为,sin2α=1时,取得最大值2. 所以所求取值范围是[,2].
解析:(1)α=时,由
消去t可得x+y=0,即直线l的普通方程为x+y=0,由ρ=-4cosθ
得ρ2=-4ρcosθ,得x2+y2=-4x,即x2+y2+4x=0.
(2)利用参数t的几何意义和三角函数的性质可得. 本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题.
23.答案:解(1)a=1,b=1时,f(x)=|x+1|+|x-1|≤4?或或,
解得:-2≤x≤2,
所以原不等式的解集为[-2,2].
(2)a>0,b>0,时,f(x)=|x+a|+|x-b|≥|(x+a)-(x-b)|=a+b, ∴a+b=2,∴+=×(a+b)(+)=(3+当且仅当a=2
-2,b=4-2
.
时取等.
)≥(3+2
)=+
,
∴+的最小值为+
解析:(1)a=1,b=1时,f(x)=|x+1|+|x-1|≤4?或或,解得:-2≤x≤2,
所以原不等式的解集为[-2,2].
(2)先用绝对值不等式的性质求出f(x)的最小值,然后用基本不等式可得.
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本题考查了绝对值不等式的解法,属中档题.
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