（0，+∞）为增函数. ……………10分
（III）f(0)??1由（II）知，f(0)??1为最小值，则f(x)??1. ……………13
32f(x)?x?3x?9x.求 （2014）设函数
（I）函数f(x)的导数；
（II）函数f(x)在区间[1,4]的最大值与最小值.
32
解：（I）因为函数f(x)=x-3x-9x，
2
所以f’=3x-6x-9 …………5分 （II）令f’=0，解得x=3或x=-1.比较f(1),f(3),f(4)的大小， f(1)=-11,f(3)=-27,f(4)=-20.
32
所以函数f(x)=x-3x-9x在区间[1，4]的最大值为-11，最小值为-27. …………12分
(2015)设f(x)为偶函数，若f(－2)=3，则f(2)= (A)一3 (B)0 (C)3 (D)6
(2015)设二次函数Y=ax2+bx+c的图像过点(－1，2)和(3，2)，则其对称轴的方程
为 x=1 ． (2015)已知曲线f(x)=ax+b
(I)a，b；
(1I)函数f(x)=ax+ b
在[0，]的最大值与最小值．
在点(0，1)处的切线方程为x一2y+2=0，求
解：（1）因为过点（0，1），所以b=1,
(0)?又在点(0，1)处的切线方程为x一2y+2=0,于是f?1 21(x)?a?bsinx，所以f?(0)?a? 因f?211x?cosx，f?(x)??sinx， （2）函数为f(x)?22???1??(x)=0，得x?，又f(0)?1,f()?,f()??令f?
24621261?于是最大值为1，最小值为?
212七、三角
（2011）设角α是第二象限角，则
（A）cosα＜0，且tanα＞0 （B）cosα＜0，且tanα＜0 （C）cosα＞0，且tanα＜0 （D）cosα＞0，且tanα＞0
（2011）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴正半轴上，点（1，22）在α的终边上.（I）求sinα的值；（II）求cos2α的值. 解：（I）因为由已知得sinα?（II）cos2α=1-2sinα=-2
22212?（22）?22 37?? （ ） 61133（A） （B） （C）? （D）? 2222（2012）函数y?sin2xcos2x的最小正周期是 （ ）
（2012）cos
6
79
（A）6? （B）2? （C）（2013）函数f(x)?1?cosx的最小正周期是 （A）
?? （D） 243? 2
（D）2π
? 2 （B）π （C）
（2013）若0????2，则
（B）cos??cos?
22（A）sin??cos?
2（C）sin??sin? （D）sin??sin? （2014）函数y=2sin6x的最小正周期为
??（A）3 （B）2 （C）2? （D）3? (2015)若<θ<π，
=，则
=
(A)－ (B)－ (C) (D)
(2015)设tanθ=2，则tan(θ+π)= (A)2 (B) (c)－ (D)－2 八、解三角形
（2012）已知?ABC中，sinA?sinBcosC。 （1）求B；
（2）若AB?8，BC?4，M为AB边的中点，求cos?ACM。
解：在?ABC中，A?180??(B?C),sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC.由已知
sinA?sinBcosC得cosBsinC?0.又因为sinC?0,故cosB?0.可得 B?90° 由已知得BM?MA?4,所以MC?42，又AC?45，在?ACM中，
(42)2?(45)2?423cos?ACM??10.102?42?45
cosA=?（2014）在等腰三角形ABC中，A是顶角，且
12，则cosB=
1133??（A）2 （B）2 （C）2 （D）2
（2014）已知△ABC中，A=110°，AB=5,AC=6，求BC.（精确到0.01） 解：根据余弦定理
BC?AB2?AC2?2AB?AC?cosA …………6分
?52?62?2?5?6?cos110??9.03 …………12分
（2013） 已知?ABC中，?A?30?，BC?1，AB?3AC （I）求AB；
（II）求?ABC的面积.
222解：（I）由余弦定理BC?AB?AC?2?AB?AC?cosA ……4分
又已知?A?30?，BC?1，AB?3AC，得AC?1，所以AC?1，从而AB?3 ……………8分
7
2（II）?ABC的面积S?13 ……………12分 AB?AC?sinA?34(2015) 已知△ABC中，A=300，AC=BC=1．求
(I)AB；
(Ⅱ) △ABC的面积． 解：（1）C=120°
AB?AC2?BC2?2AC?BC?cosC?1?1?2cos120??1， 23
（2）设CD为AB边上的高，那么CD?AC?sin30??△ABC面积为九、平面向量
13 AB?CD?24（2011）已知向量a=（2，4），b=（m，—1），且a⊥b，则实数m=
（A）2 （B）1 （C）—1 （D）—2
（2011）若向量a=（2，1，—2），b=（—1，2，2），则cos（a，b）=?4 9（2012）若向量a?(1,m),b?(?2,4)，且a?b??10，则m? （ ） （A）?4 （B）?2 （C）1 （D）4 （2014）已知平面向量a=（1，1），b=（1，-1），则两向量的夹角为
????（A）6 （B）4 （C）3 （D）2 (2015)已知平面向量a=(－2，1)与b=(λ，2)垂直，则λ= (A)－4 (B)一1 (C)1 (D)4 十、直线
（2011）若直线l与平面M平行，则在平面M内与l垂直的直线 （A）有无数条 （B）只有一条 （C）只有两条 （D）不存在
（2012）已知点A(?4,2)，B(0,0)，则线段AB的垂直平分线的斜率为 （ ）
11 （C） （D）2 22（2013）过点（2，1）且与直线y?0垂直的直线方程为 （A）x?2 （B）x?1 （C）y?2 （D）y?1 （2013）直线3x?y?2?0经过
（A）?2 （B）?（A）第一、二、四象限 （B）第一、二、三象限 （C）第二、三、四象限 （D）第一、三、四象限 （2014）过点（2，1）且与直线y=x垂直的直线方程为 （A）y=x+2 （B）y=x-1 （C）y= -x+3 （D）y= -x+2 （2014）曲线y=x3-2x在点（1，-1）处的切线方程为 y=x-2 .
(2015)已知点A(1，1)，B(2，1)，C(－2，3)，则过点A及线段BC中点的直线方程为 (A)x+y－2=0 (B)x+y+2=0 (C)x－Y=0 (D)x-y+2=0
8
十一、圆锥曲线
（2012）圆x2?y2?2x?8y?8?0的半径为 3 。 （2013）若圆x2?y2?c与直线x?y?1相切，则c?
1（A） （B）1 （C）2 （D）4
2（2013）已知球的一个小圆的面积为π，球心到小圆所在平面的距离为2，则这个球的表面积为_12π. (2015)以点(0，1)为圆心且与直线
x一y一3=0相切的圆的方程为
(A)X2+(y-1)2=2 (B)X2+(y-1)2=4 (C)x2+(y-1)2=16 (D)(x－1)2+y2=1
（2011）已知A，B是抛物线y=8x上两点，且此抛物线的焦点在线段AB上，若A，B两点的横坐标之和为10，则∣AB∣= （A）18 （B）14 （C）12 （D）10
2
x2?y2?1在y轴正半轴上的顶点为M，右焦点为F，延线段MF与椭圆交于N.（I）求直（2011）设椭圆2线MF的方程；（II）若椭圆长轴的两端点为A，B，求四边形AMBN的面积.
x2?y2?1 的顶点M（0，1）解：（I）因为椭圆，右焦点F（1，0）， 2所以直线MF的斜率为-1.
直线MF的方程为y=—x+1
4??y??x?1x??23?x1?0???? （II）由 ? 解得? ，?
2?y?1??x?y2?11?1??y??2?23?41即M（0，1），N（，?）.
33142所以四边形AMBN的面积S?AB(y1?y2)?
232（2012）已知过点(0,4)，斜率为?1的直线l与抛物线C:y?2px(p?0)交于A,B两点。 （1）求C的顶点到l的距离；
（2）拖线段AB中点的横坐标为6，求C得焦点坐标。
解：（Ⅰ）由已知得直线l的方程为x?y?4?0，C的顶点坐标为O(0,0),所以O 到l的距离
?22. (Ⅱ）把l的方程代入C的方程得x2?(8?2p)x?16?0.
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1,x2满足上述方程，故x1?x2?8?2p,
x1?x28?2p?6,可得?6,解得p?2,所以C的焦点坐标为(1,0) 222（2013）抛物线y??4x的准线方程为 （A）x??1 （B）x?1 （C）y?1 （D）y??1
又
9
1x2y222（2013）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的的离心率为，且a，23，b成等比数列.
2ab（I）求C的方程；
（II）求C上一点P的横坐标为1，F1、F2为C的左、右焦点，求?PF1F2的面积
?a2b2?12???解：（I）由?a2?b21得a2?4，b2?3
??a2?x2y2??1 ……………6分 所以C的方程为433（II）设P（1，y0），代入C的方程得|y0|?，又|F1F2|?2.
2133S??2?? ……………12分 F所以?PF的面积122221(-3,0)，F2(3,0)，其长轴长为4. （2014）设椭圆的焦点为F（I）求椭圆的方程；
y?（II）若直线
3x?m2与椭圆有两个不同的交点，求m的取值范围.
解：（I）由已知，椭圆的长轴长2a=4，焦距2c=23，设其短半轴长为b，则
b=a2?c2?4?3?1 x2?y2?1 ………………6分 所以椭圆的方程为43（II）将直线方程y?x?m代入椭圆方程可得x2?3mx?m2?1?0
2因为直线与椭圆有两个不同交点，所以
22
△=3m-4（m-1）＞0，解得-2＜m＜2.
所以m的取值范围为（-2，2）. ………………13 (2015)抛物线y2?2px的准线过双曲线等-Y2=1的左焦点，则p= 4 ．
(2015)设椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，直线L过F1 且斜率为，A(x0，Y0)(Y0>0)为L和E的交点，AF2⊥F1 F2
(I)求E的离心率；
(11)若E的焦距为2，求其方程．
解：（1）已知△AF1F2为直角三角形，且tan?AF1F2?35c,AF1?c，2a?AF1?AF2?4c 223，设焦距4F1F2?2c,则AF2?所以离心率e?cc1?? a2c210
2011-2015历年成人高考数学真题分类汇总(理)
