第2章系统的数学模型 (习题答案)
2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？
解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。
2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？
解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。
2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程, 图中xi表示输入位移, xo表示输出位移, 假设输出端无负载效应。
题图2.3
解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得
整理得
将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得
[
于是传递函数为
]
②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。引出点处取为辅助点B。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：
消去中间变量x，可得系统微分方程
对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为
③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：
移项整理得系统微分方程
对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即
则系统传递函数为
2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压ur(t)和位移xr(t)为输入量；电压uc(t)和位移xc(t)为输出量；k,k1和k2为弹簧弹性系数；f为阻尼系数。
C??fkur(t)?Ruc(t)?xr(t)xc(t)(a)(b)f?ur(t)R1R2C?uc(t)k1xr(t)xc(t)k2??(d)(c)
题图2.4
【解】：(a)
方法一：设回路电流为i，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：
?1u?idt?uc?r? C??u?Ri?c消去中间变量，整理得：
RC方法二：
ducdur?uc?RC dtdtUc(s)?Ur(s)
RR?1?RCsRCs?1?RCducdur?uc?RC dtdtCs
控制工程基础第2章答案
