关于等价无穷小替换法则在何种情况下适用于加减
法的若干探讨
程浩
北京航空航天大学，电子信息工程学院，北京，100191
薛玉梅
北京航空航天大学，数学与系统科学学院，数学、信息、行为教育部重点实验室，北京，
100191
摘要：本文对等价无穷小替换法则适用于加减法的情形做了 一些探究，并在最后以泰勒公式做了一些推广. 关键字：等价无穷小 替换 泰勒公式 一、引言
我们已经知道，等价无穷小替换法则适用于乘除法，即： 设函数f?x?,g?x?,h?x?在x0附近有定义，且f?x?~g?x??x?x0? 则：若limf?x?h?x??a，则limg?x?h?x??a；
x?x0x?x0若limx?x0h?x?h?x??a，则lim?a.（在x0附近f?x??0,g?x??0）
x?x0g?x?f?x?那么等价无穷小替换法则在何时适用于加减法呢？当然我们可以轻易推得： 若f?x?~g?x??x?x0?，则lim?f?x??h?x???lim?g?x??h?x??（若两极限存在）但
x?x0x?x0在参与一些较复杂的运算时就不一定成立了.如： 例1计算limx?0tanx?sinx
sin3xsinx?sinxtanx?sinxtanx?sinxcosx正解 lim ?lim?lim333x?0x?0x?0sinxxx12sinxsinx?1?cosx?21 ?lim ??32x?0xcosxx2错解 limtanx?sinxtanx?tanx?lim?0
x?0x?0sin3xsin3x究竟是什么原因导致了错误呢？ 原来若我们所求极限是
0型极限的话，我们轻易替换可能出现错误，不难验证若0分子分母函数的极限都存在且不等于0时，等价无穷小可以适用于加减.因此我
0们主要探讨型极限.我们只讨论减法运算.
0二、从无穷小阶量化角度得到的结论
笔者从无穷小量化的角度得到了如下结论：
定理1设f?x?~g?x??x?x0?，limh?x??0，limF?x??0，limx?x0x?x0x?x0f?x??h?x??a, F?x? （1）当f?x?和h?x??x?x0?不是等价无穷小量，则
limx?x0g?x??h?x?f?x??h?x??lim?a；
x?x0F?x?F?x? （2）当f?x?~h?x??x?x0?，则
x?x0limg?x??h?x?f?x??h?x??lim?a成立当且仅当f?x??g?x?是F?x?的高阶无穷小量. x?x0F?x?F?x?证明 以下设h?x?的阶数为m，f?x?的阶数为n，f?x??h?x?的阶数为p，F?x?的阶数为
q，
f?x??g?x?的阶数为s.
?f?x??h?x?g?x??h?x??g?x??h?x?分析：lim?a等价于lim???0即等价于?x?x0x?x0F?x?F?x???F?x?f?x??g?x?为无穷小，等价于f?x??g?x?为F?x?的高阶无穷小.在开篇的例子中由于
F?x?tanx?sinx与sin3x为等价无穷小，故出现了错误（两者均为3阶无穷小量）.
现在我们来更深入地探讨这个问题.由于limx?x0f?x??h?x??a, 若a?0，则f?x??h?x?为 F?x?若a?0，则f?x??h?x?为 F?x?的等价无穷小.这就产生了两个问题：F?x?的高阶无穷小；
（1） f?x??h?x?的阶数与f?x?和h?x?的阶数有何关系；（2）f?x??g?x?的阶数与f?x?和g?x?的阶数有何关系.
对问题（1），我们可证下面命题：
定理2若m?n，则p?min?m,n?；若m?n，则p?m. 证明 若m?n，不妨设m?n.则由题可设limh?x?f?x??c?0,lim?d?0，则
x?x0xnxmx?x0x?x0limf?x??h?x?f?x??h?x?m?n??lim?lim?m?x??0?d?d?0，故p?min?m,n?得证. x?x0xnx?x0xn?x?f?x??h?x?f?x?h?x??lim?lim?d?c mmmx?xx?x00xxx若m?n，limx?x0m
若c?d，则p?m；若c?d，则f?x??h?x?是x的高阶无穷小，故p?m，命题后
半部分得证.定理2得证
由定理2我们还可以解决问题（2）.我们有如下定理：
定理3(1)若m?n，则q?s，这样f?x??g?x?必为F?x?的高阶无穷小；
(2)若m?n，则
当c?d则q?s，f?x??g?x?为F?x?的高阶无穷小；
学术论文 14021198 程浩关于等价无穷小替换法则在何种情况下适用于加减法的若干探讨
