东北师范大学攻读硕士学位研究生入学考试业务课试卷 学科专业：凝聚态物理 考试科目：量子力学 考试时间：2006年1月 15 日 上 午 说明：所有试题答案均写在答题纸上，答在本试卷上的一律无效。 一、（15分）德布罗意波在电子的椭圆轨道上是否能容纳整数个波而形成驻波？其含义是什么？ 二、（15分）设用球坐标表示，粒子波函数表示为?(r,?,?)，求 （1） 粒子在球壳(r,r?dr)中被测到的概率； （2） 在(?,?)方向的立体角元d??sin?d?d?中找到粒子的概率。 三、（20分，每小题5分）粒子在一维无限深势阱V(x)中运动， ??|x|?a V(x)??0|x|?a?处于状态?(x)??1(x)??3(x)??4(x)。这里?n ?n?1,2,3,4,本征态。请问： 1、 粒子具有基态E1的几率； 2、 粒子的平均能量（用基态能量E1的倍数表示）； 3、 态?4中的节点数（在节点处找到粒子的几率为零）； 4、 态?3的宇称。 四、（20分）一个刚体具有惯量矩Iz，自由地在xy平面中转动。令?是x-轴与转动轴之间的夹角。求 （1）找出能量本征值和相应的本征波函数?n(?)； （2）在t?0时转子由波包?(0)?Asin?描述，求在t?0时的??t?。 2?是系统的归一化能量 共2页
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五、（20分）一个粒子的某一量子力学态，在直角坐标x,y,z中由归一化波函数??x,y,z???ze???52x2?y2?z2来描述，证明系统处在一个具有确定角动量的态上，并给出该态相应的L2和Lz值。 六、（20分）在t?0时氢原子的波函数为 ??r,0??12?100??210?2?211?3?21?1 10??其中指标是量子数n,l,m的值。忽略自旋和辐射跃迁。求 （1） 该体系能量的期望值； （2） 随时间t变化的波函数??r,t?； （3） 在t时刻体系处于l?1,m??1态的几率； （4） 假设一次测量发现L?1,Lx?1，用上面的?nlm描述这一测量后瞬间的波函数。 七、（20分）设有一个定域电子，受到沿x方向均匀磁场B的作用，哈密顿量为H?eBeBSx??x。 mc2mc????，求t?0时S的平均值。 2??设t?0时电子自旋向上?sz??表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，?、a八、（20分，每小题10分）以a?,a?它们满足基本关系：a??????aa?2??a??a?表示??a??1 ; a?2?0 ; ?a????0；以N?a该单粒子态上的粒子数算符。 ?的本征值； （1）、求N?,a?,a?]及[N??]。 （2）、计算对易式[N
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