(2013-2014-1)工科数学分析期末试题(A卷)解答（2014.1）
一．1. x3?2x2?3x
2.
2?1
3． ?32, 92
4. 1?x2??4???2ln2arctanx
5． md2ydydt2?mg?kdt
二. 原式 ?limx?ln(1?x)x?0tan2x?limx?ln(1?x)x?0x2 1??1 ?lim1?xx?02x ?lim?1x?02(1?x) ??12
三. eydydx?y?xdydx?0 dydx?yey?x dy?(yydy d2ydx2?dxe?x)?y(edx?1)(ey?x)2 y?(ey?x)?y(yy ?ey?xeey?x?1)(ey?x)2 ??2xy?2yey ?y2ey (ey?x)3 ……………..(2分) ……………..(6分)
……………..(7分)
……………..(8分) ..(3分) ……………..(4分) ……………..(6分) ……………..(7分) ……………..(8分) 1
…………… 3a3ax?a?x?2a?四. lim?[(1?)] ……………..(2分) ??limx??x??x?a?x?a?xx?a3ax ?e3a ……………..(3分)
???0????8x?x?xdx ……………..(4分) ?8xedx??8xdex?0?0e??0 ??8xe?x ??8e?x????08e?xdx ……………..(6分)
??0?8 ……………..(8分)
五. 六. 七.
e3a?8 a?ln2 ……………..(9分)
dxdy?1yx?y3 dxdy?1yx?y3 ……………..(2分) ?1 x?e??ydy(C??y3e??1ydydy) ……………..(4分)
?elny(C??y3e?lnydy) ……………..(6分) ?y(C??y31ydy) ……………..(8分) ?Cy?13y4 ……………..(9分) f?(x)??asinx?cos3x ……………..(3分)
由 f?(?323)??a2?1?0 得 a?3 ……………..(5分) f??(x)??acosx?3sin3x ……………..(7分) 因为f??(?13)??3?0 故 f(?3)是极大值 ……………..(9分) 抛物线与直线的交点为(1,?1),(4,2) ……………..(1分)
A??2?1[(y?2)?y2]dy ……………..(3分)
?(y22?2y?y3293)?1?2 ……………..(5分)
V??2?1[?(y?2)2??y4]dy ……………..(7分)
??[1(y?2)3?1y535]2?1?725? ……………..(9分) 2
八. 令 t?11?x 即 x?2 ……………..(2分)
t?1x?2t2dt ……………..(3分) I??2t?11)dt ……………..(4分) t2?111 ??2?(1?2?2)dt ……………..(6分)
t?1t?1 ??2?(1? ??2t?lnt?1?lnt?1?C ……………..(8分) ??2分)
x4九. dW?x??g?y2dx???gx?4(1?)2dx???gx(3?x)2dx ……..(3分)
39o342w???gx(3?x)dx ……………..(5分) y ?09234 ???g?(9x?6x2?x3)dx
093491 x ???g(x2?2x3?x4)30 ……………..(8分)
9241?xx?ln1?xx?1?ln1?xx?1?C ……………..(9
?g(J) ……………..(9分) ?3??g?3000
十. f(x)??e?x?x?f(t)dt??tf(t)dt ……………..(1分)
00xx f?(x)?e?x??f(t)dt ……………..(2分)
0x f??(x)??e?x?f(x) f??(x)?f(x)??e?x ……………..(3分) f(0)??1 f?(0)?1 ……………..(5分) r2?1?0 r??1 ……………..(6分) f(x)?C1ex?C2e?x ……………..(7分) 设 f*(x)?Ax?ex ……………..(8分) 代入微分方程得 A?
11 f*(x)?xe?x ……………..(9分) 223
1?xxe ……………..(10分) 213 由初值得 C1?? C2??
44131 f(x)??ex?e?x?xe?x ……………..(12分)
442 通解为 f(x)?C1ex?C2e?x?
十一. 令 F(t)?(t?1)?f(x)dx ……………..(2分)
t0 则F(t)在[0,1]连续, 在(0,1)可导, 又 F(0)?F(1)?0
由罗尔定理, ???(0,1), 使 F?(?)?0
??0f(x)dx?(??1)f(?)?0 即 (1??)f(?)???0f(x)dx 得证
..(6分) ..(7分)
……………..(8分) 4
…………… ……………
高等数学上：分析解答2013-2(A)
