2005-2006学年第二学期〈微积分(B)II〉期末考试试卷(A)答案
一、简答题（ 每小题5分,共55分）判分标准：（1）答案正确时，一般不扣分，除非有明显的作弊倾向。（2）答案不正确时，可按步骤给分。
1．已知z?y2x，求z的全微分dz. 解：dz?(2y2xlny)dx?(2xy2x?1)dy 评分：dz?()dx?()dy（+1分）；一个“（ ）”+2分
2．设 z=f (x , y) 为二元函数. 在下图所示的方框中, 用“?”将 f (x , y) 在 (x , y)处的连续性,可微性等关系表示出来. 解：
f连续
fx?,fy?连续 fx?,fy?存在 df存在 评分：缺一个或多一个箭头扣一分。不给负分。
y?z?2z3．设z?f(xy,), 其中 f 具有二阶连续的偏导数, 求,.
x?x?x?y2解：
?zy?f1?2xy?f2?2.(?2分） ?xx?2z11y1??x2?f12??]?2f2??2[f21??x2?f22??]（?3分）?2xf1??2xy[f11?x?yxxxx
1y???yf12???3f22??.?2xf1??2f2??2x3yf11xx4．求曲面 2x?ye?ln(z?1)?0在点（处的切平面方程. 1，2，0）第 1 页 共 10 页
3z解；(6x,?e,?ye?2zz1)?(6,?1,?3) z?1所求；6(x?1)?(y?2)?3z?0?6x?y?3z?4?0 评分：6，-1，-3，一个数一分，法向量有错最多2分。
?5．求函数 u?2xy?z在点M（1，1，1）处沿方向l?(1,1,1)的方向导数.
2???ull2??解：???(u?,u,u)??(2y,2x,?2z)??(2,2,?2)?(1,1,1)/3?. xyz?l|l||l|3评分：对应以上各等号分别给到1、2、4、5分。
24?x26． 交换二次积分I?dx0?2x?x2?f(x,y)dy的积分次序.
14?y224?y211?1?y2解：I?dy0??f(x,y)dx??dy?f(x,y)dx??dy?f(x,y)dx
001?1?y210评分：对一个2分,对两个4分.只有正确图1分.用减法扣1分(因为f会无定义) 7．设?是z?x2?y2,0?z?1的部分,求??(3xy?x2?y2?z2?1)dS.
?解1:用对称和曲面代入
1I?0?0???(?1)dS???底周长?斜高??2?
2?解2:
I?2?D:x?y?11222??()1?z?zxydxdy|??2z?x2?y2
??d??(3rcos?rsin??1)2rdr??2?
00评分:解1;解2各等号给到2、2、5；2、4、5分。
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an8．填空题.当常数a,p满足条件 a??1,0?p?1 时,级数?p条件收敛.
n?1n?an当常数a,p满足条件 |a|?1或|a|?1，p?1 时,级数?p绝对收敛.
n?1n?评分：第一空2分，只有a=-1，0 (2)求微分方程 y???2y??5y?xexsin2x的特解形式. 解: (1) r2?2r?5?0?r?1?2i?y?C1excos2x?C2exsin2x (2) y?xex[(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x] 评分:(1)3分.各箭头前给到1、2、3分。（2）2分。有x[ ] 即k=1给1分. ??1,0?x?,??210．设 f(x)??的正弦级数?bnsinnx的和函数为S (x) ?n?1?x?1,?x??2?(其中bn?2???0?7??f(x)sinnxdx),求S??的值. ?2?1???7?????????（?1）]?? ??S????S????[1?224?2??2??2?解:因为S奇且T?2?,所以S?评分:“所以”后各等号给到1、3、5、5分 11．已知级数 ?an?1?n绝对收敛, 且 ??(?1)n?1?n?1an?2,?a2n?1?5,问?an=? n?1n?1??解：因为5?2??an?1?2n,所以?an?5?3?8. n?1评分:前半句3分,后半句2分. 二、解答题（ 每小题9分,共45分） 第 3 页 共 10 页 12．求函数 z?x2?6x?y2?4y在区域D:x?0,y?0,x?y?3上的最大植和最小值. 解1；z?(x?3)2?(y?2)2?13=“（x，y）到（3，2）的距离的平方减13” 如图 所以zmin?z(2,1)?1?1?13??11,zmax?z(0,0)?0. 注意图中的圆线是z的等值线。 评分：解1：第一行3分，结论再加6分。 ?z?x?2x?6?0解2；??(x,y)?(3,2)?D,所以D内无疑点. ?z?2y?4?0?y再找D的边界L1：y?0，0?x?3上的嫌疑点. 即求z1?z|L1?z|y?0?x2?6x在0?x?3的最值嫌疑点, ?x?2x?6?0?x?3加上x?0，x?3得嫌疑点令（z1）(x,y)?(0,0),(3,0) 同理 ?y?(z|x?0)?y?2y?4?0,0?y?3,得嫌疑点令（z2）(x,y)?(0.2),(0,0),(0,3) 第 4 页 共 10 页 ?x?(z|x?y?3)?x?[x2?6x?(3?x)2?4(3?x)]?x?0,0?x?3, 令（z3）?x?2x?6?2(3?x)?4?4x?8?0?x?2,0?x?3, 令（z3）得嫌疑点(x,y)?(2,1),(0,3),(3,0). 计算所有嫌疑点的z值: (z?x2?6x?y2?4y) z(0,0)?0,z(3,0)??9,z(0,2)??4,z(0,3)??3,z(2,1)??11. 所以zmin?z(2,1)??11,zmax?z(0,0)?0. 评分：解2：求D 内嫌疑点3分，求y=0，x=0，x+y=3 上嫌疑点分别为1、1、3分. 结论1分. 13．计算 22zxdydz?yzdzdx?zx?ydxdy， 其中 ????是由a2?x2?y2?z2?4a2,z?解:原式= x2?y2所确定的立体的表面的外侧(a>0). ???(z?z??x2?y2)dxdydz (用球坐标) 2a2??/4??d?02a2d?(2rcos??rsin?)rsin?dr ??0a?/4?2??r3dr?(2cos??sin?)sin?d? a0 ?r4??2????4?a2a11?2?sin??(??sin2?)??22??0?/4 4?15a4??11?1?15?a?2??(2??) ???(?)?(0?0)??16??4??2242评分:得第一行3分, 得第二行再加4分(每对积分限各1分,被积函数1分),最后结果再加 2分 第 5 页 共 10 页
北京交通大学第二学期〈微积分(b)ii〉期末考试试卷(a)及其答案.
