学生姓名 题 目 课题性质 指导教师 用双线性变换法设计原型低通为切比雪夫I型的数字IIR高通滤波器，要求通带边界频率为500Hz，阻带边界频率分别为400Hz，通带最大衰减1dB，阻带最小衰减40dB，抽样频率为2000Hz，用MATLAB画出幅频特性，画出并主要内容 分析滤波器传输函数的零极点； 信号x(t)?x1(t)?x2(t)?sin(2?f1t)?sin(2?f2t)经过该滤波器，其中 专业班级 学院名称 用双线性变换法设计原型低通为切比雪夫I型的数字IIR高通滤波器 课题来源 同组姓名 f1?300Hz，f2?600Hz，滤波器的输出y(t)是什么？用Matlab验证你的结论并给出x1(t),x2(t),x(t),y(t)的图形。 1、掌握用双线性变换法设计原型低通为切比雪夫I型的数字IIR高通滤波任务要求 器的原理和设计方法。 2、求出所设计滤波器的Z变换。 3、用MATLAB画出幅频特性图。 4、验证所设计的滤波器。 1、程佩青著，《数字信号处理教程》，清华大学出版社，2001 参考文献 2、Sanjit K. Mitra著，孙洪，余翔宇译，《数字信号处理实验指导书（MATLAB版）》，电子工业出版社，2005年1月 3、郭仕剑等，《MATLAB 7.x数字信号处理》，人民邮电出版社，2006年 4、胡广书，《数字信号处理 理论算法与实现》，清华大学出版社，2003年
1需求分析：
用双线性变换法设计原型低通为切比雪夫I型的数字IIR高通滤波器，要求通带边界频率为500Hz，阻带边界频率分别为400Hz，通带最大衰减1dB，阻带最小衰减40dB，抽样频率为2000Hz，用MATLAB画出幅频特性，画出并分析滤波器传输函数的零极点；
信号x(t)?x1(t)?x2(t)?sin2?(f1t)?sin2?(f2t)经过该滤波器，其中
f1?300Hz，f2?600Hz，滤波器的输出y(t)是什么？用Matlab验证你的结论并给出x1(t),x2(t),x(t),y(t)的图形。
2 概要设计：
数字滤波器介绍
数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置,其输入、输出均为数字信号,实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。它的基本工作原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换,改变输入序列的频谱或信号波形,让有用频率的信号分量通过,抑制无用的信号分量输出。数字滤波器和模拟滤波器有着相同的滤波概念,根据其频率响应特性可分为低通、高通、带通、带阻等类型,与模拟滤波器相比,数字滤波器除了具有数字信号处理的固有优点外,还有滤波精度高(与系统字长有关)、稳定性好(仅运行在0与l两个电平状态)、灵活性强等优点。
时域离散系统的频域特性:
,其中
、
分别是数
是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）,
字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。输入序列的频谱
经过滤波后
,因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理
信号的目的， 适当选择，使得滤波后的满足设计的要求，
这就是数字滤波器的滤波原理。
数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。IIR 数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型
来实现，其差分方程为： (1-1)
系统函数为： （1-2）
设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。
IIR数字滤波器设计原理
IIR数字滤波器是一种离散时间系统，其系统函数为
（1-3） 假设M≤N，当M＞N时,系统函数可以看作一个IIR的子系统和一个(M-N)的FIR子系统的级联。IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数和 ，它是数学上的一种逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的
特性。如果在S平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在z平面上去逼近，就得到数字滤波器。
设计高通、带通、带阻等数字滤波器通常可以归纳为如图所示的两种常用方法。
方法1 方法2
模拟原型低通 冲激响应不变数字原型低通 频率 模拟高通、带通和带阻 模拟原型低通 频率 交换 模拟高通、带通和带阻 冲激响应不变数字高通、带通和带阻 双线性变换 双线性变换 交换 图1-1 数字滤波器设计的两种方法
方法1： 首先设计一个模拟原型低通滤波器，然后通过频率变换成所需要的模拟高通、带通或带阻滤波器，最后再使用冲激不变法或双线性变换成相应的数字高通、带通或带阻滤波器。
方法2 ：先设计一个模拟原型低通滤波器，然后采用冲激响应不变法或双线性变换法将它转换成数字原型低通滤波器，最后通过频率变换把数字原型低通滤波器变换成所需要的数字高通、带通或带阻滤波器。
方法一的缺点是，由于产生混叠是真，因此不能用冲激不变法来变换成高通或阻带滤波器，故一般采用第二种方法进行设计。
本课程设计先构造一个切比雪夫模拟低通滤波器，然后将模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器，最后利用双线性变换将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器。
切比雪夫滤波器
目的：构造一个模拟低通滤波器。
为了从模拟滤波器出发设计IIR数字滤波器，必须先设计一个满足技术指标的模拟滤波器，亦即要把数字滤波器的指标转换成模拟滤波器的指标，因此必须先设计对应的模拟原型滤波器。
模拟滤波器的理论和设计方法己发展得相当成熟，且有一些典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些典型的滤波器各有特点。这里介绍切比雪夫滤波器。
切比雪夫滤波器特点：误差值在规定的频段上等波纹变化。
巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止
处，幅度下降很多，或者说，为了使通带内的衰减足够小，需要的阶次N
。切比
很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式来逼近所希望的雪夫滤波器的
在通带范围内是等幅起伏的，所以在同样的通常内衰减要
求下，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。 切比雪夫滤波器的振幅平方函数为
(1-4)
式中Ωc为有效通带截止频率，表示与通带波纹有关的参量，值越大通带不动愈大。VN（x）是N阶切比雪夫多项式，定义为
(1-5)
DSP实验用双线性变换法设计原型低通为切比雪夫I型的数字IIR高通滤波器
