九、参考解答：
1. 这是一个大尺度运动，导弹发射后，在地球引力作用下，将沿椭圆轨道运动，如果导弹能打到 N 点，则此椭圆一定位于过地心 O、北极点 N 和赤道上的发射点 C 组成的平面（此平面是 C 点所在的子午面）内，因此导弹的发射速度（初速度 v ）必须也在此平面内，地心 O 是椭圆的一个焦点。根据对称性，注意到椭圆上的 C、N 两点到焦点 O 的距离相等，故所考察椭圆的长轴是过 O 点垂直 CN 的的直线，即图上的直线 AB，椭圆的另一焦点必在 AB 上。已知质量为 m 的物体在质量为 M 的地球的引力作用下作椭圆运动时，物体和地球构成的系统的能量 E（无穷远作为引力势能的零点）与椭圆半长轴 a 的关系为
E??GMm （1） 2a要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴 a 最短。根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两焦点到椭圆上任一点的距离之和为 2a，现 C 点到一个焦点 O 的距离是定值，等于地球的半径是 R，只要位于长轴上的另一焦点到 C 的距离最小，该椭圆的半长轴就最小。显然，当另一焦点位于 C 到 AB 的垂线的垂足处时，C 到该焦点的距离必最小。由几何关系可知
2a?R?2R （2） 2设发射时导弹的速度为 v，则有
E?12Mmmv?G （3） 2R解（1）、（2）、（3）式得
v?因
2GM(2?1) （4） RGMm?mg （5） R2比较（4）、（5）两式得
v?2Rg(2?1) （6）
代入有关数据得
v＝7.2 km/s （7）
速度的方向在 C 点与椭圆轨道相切，根据解析几何知识，从椭圆上一点的切线的垂直线，平分两焦点到该点连线的夹角 ∠OCP，从图中可看出，速度方向与 OC 的夹角
??90???45??67.5? （8）
2. 由于地球绕通过 ON 的轴自转，在赤道上 C 点相对地心的速度为
12vC?2?R （9） T式中 R 是地球的半径，T 为地球自转的周期，T＝24×3600 s＝86400 s，故
vC?0.46km/s （10）
C 点速度的方向垂直于子午面（图中纸面）。位于赤道上 C 点的导弹发射前也有与子午面垂直的速度 vC，为使导弹相对于地心速度位于子午面内，且满足（7）、（8）两式的要求，导弹相当于地面（ C 点）的发
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射速度应有一大小等于 vC，方向与 vC 相反的分速度，以使导弹在此方向相当于地心的速度为零，导弹的速度的大小为
2v??v2?vC （11）
代入有关数据得
v?＝7.4 km/s （12）
它在赤道面内的分速度与 vC 相反，它在子午面内的分速度满足（7）、（8）两式。
3. 质量为 m 的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律，故对于近地点和远地点有下列关系式
12GMm12GMm （13） mv1??mv2?2r12r211r1v1?r2v2 （14） 22式中 v1、v2 分别为物体在远地点和近地点的速度，r1、r2 为远地点和近地点到地心的距离。将（14）式
中的 v1 代入（13）式，经整理得
212?r2?GMmmv2?2?1??(r2?r1) （15）
??2r1r2?r1?注意到
r1＋r2＝2a （16）
得
12GMmr1 （17） mv2?22ar2因
E?12GMm （18） mv2?2r2GMm （19） 2a有（16）、（17）、（18）式得
E??评分标准：（本题25分）
1. 14分。（2）式6分，（3）式2分，（6）、（7）式共4分，（8）式2分。 2. 6分。（11）式4分，（12）式2分。 3. 5分。（13）、（14）式各1分，（19）式3分。
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第23届全国中学生物理竞赛预赛试卷及答案
